İntegral geometri

Matematikte, integral geometri, belirli bir uzayın simetri grubu altındaki geometrik uzay değişmezi üzerindeki ölçü teorisidir. Daha yakın zamanlarda, anlam, bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayından başka bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayına değişmeyen (veya eşdeğer olan) dönüşümlerin bir görünümünü içerecek şekilde genişletildi. Bu tür dönüşümler genellikle Radon dönüşümü ve genellemeleri gibi integral dönüşümlerin biçimini alır.

Klasik bağlam

[değiştir | kaynağı değiştir]

İntegral geometri ilk olarak geometrik olasılık teorisinin belirli ifadelerini iyileştirme girişimi olarak ortaya çıktı. Luis Santaló[1] ve Wilhelm Blaschke'nin[2] ilk çalışmaları bu bağlamdaydı. Bir düzlem eğrisinin uzunluğunu rastgele bir çizgi ile kesişme sayısının bir beklentisi olarak ifade eden klasik Crofton teoreminden kaynaklanır. Burada "rastgele" kelimesi, doğru simetri değerlendirmelerine tabi olarak yorumlanmalıdır.

Düzlemin afin grubunun etki ettiği bir örnek çizgi uzayı vardır. Simetri grubu altında değişmeyen bu uzayda bir olasılık ölçüsü aranır. Bu durumda olduğu gibi, böyle benzersiz bir değişmez ölçü bulabilirsek, o zaman bu, 'rastgele doğrunun' ne anlama geldiğini doğru bir şekilde formüle etme problemini çözer ve beklentiler bu ölçüye göre integral olur. (Örneğin, 'bir çemberin rastgele kirişi' ifadesinin bazı paradokslar oluşturmak için kullanılabileceğini unutmayın - örneğin Bertrand paradoksu.)

Bu nedenle integral geometrinin, Klein'ın Erlangen programı bağlamında olasılık teorisinin (Kolmogorov tarafından aksiyom haline getirildiği üzere) uygulaması olduğunu söyleyebiliriz. Teorinin içeriği, Lie gruplarının (tercihen tıkız) homojen uzayları üzerindeki değişmez (pürüzsüz) ölçümlerin etkili bir şekilde olması ve diferansiyel formların integrallerinin değerlendirilmesidir.[3]

Buffon'un iğnesi problemi çok meşhur bir durumdur: kalaslardan yapılmış bir zemine bir iğne bırakın ve iğnenin bir çatlak üzerine denk gelme olasılığını hesaplayın. Genelleme, bu teori geometrik ve sıklık sorularıyla ilgili çeşitli stokastik süreçlere uygulanır. Bkz. Stokastik geometri.

İntegral geometri formundaki en ilginç teoremlerden biri, Öklid ortamında Hadwiger teoremidir. Daha sonra Hadwiger-tipi teoremler, değerleme teorisindeki gelişmiş araçlar kullanılarak, özellikle Hermityen geometride olmak üzere çeşitli ortamlarda oluşturuldu.

İntegral geometrinin daha yeni anlamı Sigurdur Helgason[4][5] ve Israel Gelfand'ın tanımladıkları anlamıdır.[6] Daha spesifik olarak, Radon dönüşümü üzerine modellenen integral dönüşümlerle ilgilenir. Burada altta yatan geometrik geliş ilişkisi (Crofton örneğinde çizgiler üzerinde uzanan noktalar), geliş grafiğine geri çekilme ve daha sonra ileri itme olarak oluşturulmuş integral bir dönüşümün yeri olarak daha özgür bir ışıkta görülür.

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Luis Santaló (1953), Introduction to Integral Geometry, Paris: Hermann 
  2. ^ Wilhelm Blaschke (1955), Vorlesungen über Integralgeometrie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 
  3. ^ Luis Santaló (1976), Integral Geometry and Geometric Probability, Addison-Wesley, doi:10.1002/zamm.19790590633, ISBN 0201135000 
  4. ^ Sigurdur Helgason (2000), Groups and Geometric Analysis: integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions, American Mathematical Society, ISBN 0821826735 
  5. ^ Sigurdur Helgason (2011), Integral Geometry and Radon Transforms, Springer, ISBN 9781441960542 
  6. ^ I. M. Gel’fand (2003), Selected Topics in Integral Geometry, American Mathematical Society, ISBN 0821829327 

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]