Anahtarlı kapasite

Anahtarli kapasite (İngilizceː switched capacitor) "ayrık zamanlı" sinyal işleme için kullanılan bir tür ʽelektronik devreʼ elemanıdır. Bu devre elemanının çalışması "anahtar" açılınca ve kapanınca şarjları kondansatörlerden içeri ve dışarı verme şeklinde olmaktadır. Genellikle, birbiri ile çakışmayan sinyaller anahtarları kontrol etmek için kullanılır ve bunun için tüm anahtarların hepsi aynı zamanda kapatılmamaktadır. Bu elemanlarla birlikte uygulanan filtrelere "anahtarlı-kapasitör filtreleri" ismi verilmekte ve bunlar sadece kapasitansların arasında bulunan oranlara bağımlı olmaktadır. Bu nitelik, daha dakik olarak belirlenen resistörlar ve kondansatörlerin yapımlanması ekonomik olmadığı hallerde bu tip filtrelerin entergre devreler içinde kullanmak için çok daha uygun olmalarını saglamaktadır.^[1]

Anahtarlı Kapasite (Switched Capacitor) Devrelere giriş

Anahtarlı kapasite devre yapısı, özellikle büyük değerli direnç elemanını simüle edebildikleri için ayrık zamanlı filtre yapılarında özellikle ses işaretleri için uygun olabilen bir frekans bölgesinde tümdevre tekniği için uygun bir metot olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu konuda Türkçe karşılık itibarı ile anahtarlamalı kapasite kavramı da aynı anlamda kullanılmaktadır. Fakat YÖK tez kataloglarında bu konuda jüri onayı almış başarılı ilk tez çalışmaları anahtarlı kapasite olgusuna dayanmakta olup anahtara sahip bir kapasite yapısının devrede bulunduğu anlamını ifade eder. Türkçede anahtarla kelimesi dilbilgisi itibarı ile eylem manası verdiğinden bu eyleme getirilecek -meli malı- ekleri aynı eylemin zorunluk durumunu çağrıştırmaktadır. İngilizcede switched capacitor kelimesinin tam karşılığı olarak "anahtarlama" işlemini ilgili kapasiteye mana olarak yüklemek için "switch" anahtar isminden sıfat türetilmiş ve anahtarlı ya da anahtarlanan şeklinde bu mana ortaya konmuştur. Bu açıdan Türkçede switched capacitor kavramının ilk sunulan tez örneklerinin İstanbul Üniversitesi, İstanbul Teknik Üniversitesi ve Sakarya Üniversitesi'inden 1990'lı yıllar sonlarında gelmesi ve anlamın anahtarlı kapasite şeklinde sıfat tanımlama olarak kabul görmesi nedeni ile bizde tanımlamalarımızı bu yönde geliştirecektir.

Bu tanımlama başlığı altında, anahtarlı kapasite devre yapısına çok temel bir giriş yapılmakta ve eşdeğer direnç kavramı takdim edilmektedir.

Yukarıda şekil (a) da bir ucu toprağa bağlı olan C kapasitesi sırası ile V₁ ve V₂ düğüm gerilimlerine sahip olan noktalara S anahtarı vasıtası ile bağlanmaktadır. S anahtarının 1 konumunda olduğunu düşünürsek, C kapasitesi üzerinde biriken yük miktarı

${\displaystyle Q_{1}=C.V_{1}}$ olacaktır. Daha sonra S anahtarı 2 numaralı konuma alınırsa yine C kapasitesi :${\displaystyle Q_{2}=C.V_{2}}$ yüküne sahip olur. Böylece ${\displaystyle V_{1}}$ den ${\displaystyle V_{2}}$ ye aktarılan yük miktarı,

${\displaystyle \Delta Q=Q_{1}-Q_{2}=C.(V_{1}-V_{2})}$

olarak elde edilir.Şimdi S anahtarını T periyotlu bir saat işareti ile periyodik olarak anahtarlayalım. Burada saat işaretinin frekansı

${\displaystyle f_{c}=1/T}$

olmak üzere, ${\displaystyle f_{c}}$ 'nin V₁ ve V₂ gerilim kaynaklarının işaret frekansı olan f den oldukça büyük olduğunu kabul edeceğiz. Yani,

${\displaystyle f_{c}\gg 2.\pi .f}$

V₁ ve V₂ işaretleri yukarıda yer alan kabule göre T periyodu içinde sabit olarak varsayılaiblir. Buna göre

V₁ ve V₂

düğümleri arasında akan yük miktarının ortalama değeri akım (I) olarak düşünülebilir. Buna göre,

${\displaystyle I={\frac {\Delta Q}{T}}=\Delta Q.f_{c}=f_{c}.C.(V_{1}-V_{2})}$

olarak bulunur. Bu şekil (a) da yer alan anahtarlı kapasite devrenin direnç eşdeğeri şekil (b) gösterilmiştir. Bu eşdeğer direnç yaklaşımına göre yukarıda yer alan V₁den V₂ ye akan akım miktarı I olarak elde edildiğine göre şekil (a) daki devre aşağıdaki direnç eşdeğeri ile şekil (b) gösterildiği gibi değiştirilebilir. Bu eşdeğer direncin (R)değeri aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle R={\frac {V_{1}-V_{2}}{I}}={\frac {1}{f_{c}.C}}}$

Bu formüle göre şekil (a) da yer alan anahtarlı kapasite devre; şekil (b) de yer alan ve eşdeğer direnci

${\displaystyle R={\frac {1}{f_{c}.C}}}$

olarak elde edilen bir direnç elemanı gibi davranır. Analog direnç kapasite filtre devrelerine şekil (a) da yer alan anahtarlı kapasite eşdeğeri yerleştirilerek anahtarlı kapasite filtre devreleri ayrık zamanlı formda kolayca üretilebilmektedir. Anahtarlı kapasite filtreler, anahtarlama işlemi için MOS (Metal Oxyde Semiconductor) elemanlar kullanıldığı için ve çok düşük kapasite değerleri ile çok büyük direnç değerlerini simüle edebilmenin mümkün olmasından dolayı geniş çaplı tümleştirme teknikleri (VLSI) ile üretilebilmektedirler. Bundan dolayı gelişen yarı iletken teknolojisine paralel olarak anahtarlı kapasite filtre (switched capacitor filters) tekniği pratik filtrelerin silikon yonga üzerinde gerçeklenmesi açısından oldukça cazip bir metot olmaktadır. Günümüzde özellikle cep telefonlarında ses frekansı bölgesindeki filtreleme işlemlerinde bütünü ile anahtarlı kapasite filtre tekniği kullanılmakta böylece daha az PCB yüzeyde istenilen filtre fonksiyonları, mikroişlemcilerle birlikte filtreleme işlemi için ilave bir yazılım yükü gerekmeksizin başarı ile uygulanagelmektedir.

Anahtarlama işleminin MOS elemanlar ile gerçeklenmesi

Yukarıda elde edilen akım eşitliği tekrar yazılırsa,

${\displaystyle I=C.(V_{1}-V_{2})}$

bu bağlantıyı aşağıda yer alan anahtarlı kapasite devre topolojisi için tekrar gözden geçirilsinː

Yukarıdaki şekil (c) de her iki anahtar da (1) konumunda olursa C kapasitesi üzerindeki yük

${\displaystyle \Delta Q}$=C.(V₁-V₂)

olacaktır ki bu değer giriş bölümünde verilen akım bağıntısı ile aynıdır. S1 ve S2 anahtarları (2) konumuna getirildiklerinde C kapasitesi tamamen boşalır. ${\displaystyle \Phi _{1}}$ fazı S1 ve S2 anahtarlarının (1) konumunda oldukları duruma karşı gelmekte ve ${\displaystyle \Phi _{2}}$ fazı da benzer şekilde her iki anahtarında (2) konumunda oldukları durumu göstermektedir. Şekil (d) ise aynı devrenin MOS yarı iletken anahtarlama elemanları ile gerçeklenmiş eşderidir. Devre topolojisinin bu şekilde değiştirilmesinin nedeni bir ucu toprağa bağlı olan MOS elemanlardan dolayı ortaya çıkan parazit kapasitelerin etkisinin en aza indirilmesinden kaynaklanmaktadır.

Benzer şekilde negatif değerli bir direnç eşdeğeri elde etmek için anahtarlama frekanslarını

${\displaystyle \Phi _{1}}$ ve ${\displaystyle \Phi _{2}}$

ifadesine uygun şekilde değiştirmek gereklidir.Bu amaca uygun devre şekli ve MOS eşdeğeri sırası ile şekil (e) ve şekil (f) de görülmektedir.

Şekil (e) ve şekil (f) göz önüne alındığında, S1 anahtarının 1 konumunda ve S2 anahtarının 2 konumunda olması halinde yani :${\displaystyle \Phi _{1}}$ fazında C kapasitesi

Q₁= -C.V₁

ile yüklenirken (yükün pozitif kutbu C kapasitesinin sağdaki ucu olarak alınmıştır), S1 anahtarının 2 konumunda ve S2 anahtarının 1 konumunda olması halinde (${\displaystyle \Phi _{2}}$ fazında) C kapasitesi üzerindeki yük

Q₂= C.V₂

olacaktır (yükün pozitif kutbu C kapasitesinin sağdaki ucu V₂ düğümü olarak alınmıştır). Bu durumda toplam yük değişimi

${\displaystyle \Delta Q=Q_{1}-Q_{2}=-C.V_{1}-C.V_{2}}$ olarak bulunur.

${\displaystyle \Delta Q}$= -C.(V₁ +V₂ )

olarak bulunur. V₁ ile V₂ düğümleri arasından akan akım I ile gösterilirse,

${\displaystyle I={\frac {\Delta Q}{T}}=\Delta Q.f_{c}=-f_{c}.C.(V_{1}+V_{2})}$

Şekil (e) de gösterilen devrenin ${\displaystyle V_{2}}$ düğümü, pozitif girişi toprağa bağlı olan bir işlemsel kuvvetlendiricinin negatif olan ucuna bağlanırsa işlemsel kuvvetlendiricinin negatif girişi görünürde toprak potansiyelinde olacağından ${\displaystyle V_{2}=0}$ yazılabilir. Bu durumda,

${\displaystyle R={\frac {V_{1}+0}{I}}={\frac {-1}{f_{c}.C}}}$

bulunur. Görüldüğü gibi şekil (e) ve (f) de verilen devre yapısı ${\displaystyle V_{2}}$ düğümünün bir işlemsel kuvvetlendiricinin görünürde toprak olan negatif girişine bağlanması halinde, negatif değerli bir direnç eşdeğeri olarak davranmaktadır. Bu direncin mutlak değeri MOS elemanların anahtarlama frekansı ve C kapasite değeri ile ters orantılıdır.

İlgili anahtarlama işaretleri dalga şekilleri ise aşağıdaki şekilde verilmiştir.

İkinci dereceden anahtarlı kapasite filtre yapıları

Aşağıda anahtarlı kapasite ikinci dereceden genel bir filtre yapısı şekilde görülmektedir. Bu devre yapısının genel ayrık zamanlı z-düzlemi transfer fonksiyonu H(z); A, B, C, D, E, F, G, I, J, K, L ilgili kapasite değerleri olmak üzere,

${\displaystyle H(z)=V_{2}/V_{1}=-{\frac {D(I+K)z^{2}+(A(G+L)-D(I+J+2K))z+(D(J+K)-A(H+L))}{D(B+F)z^{2}+(A(C+E)-D(F+2B))z+(DB-AE)}}}$

şeklinde yazılabilir. Bu transfer fonksiyonu, uygun genellemeler ile istenilen bütün filtre fonksiyonlarını gerçekleştirebilecek özellikte tasarlanabilir.

F, H ve I kapasite değerleri sıfır kabul edilerek, B ve D kapasiteleri birim kapasite alınırsa;

F=H=I=0,

B=D=1,

${\displaystyle H(z)=V_{2}/V_{1}=-{\frac {Kz^{2}+(A(G+L)-D(J+2K))z+(D(J+K)-AL)}{z^{2}+(A(C+E)-2)z+(1-AE)}}}$

Olarak transfer fonksiyonu daha basit bir biçimde elde edilir.

Kaynakça

1. Switched Capacitor Circuits 5 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. ̪(İngilizce), Swarthmore Koleji ders notları erişimː2009-05-02

• İngilizce Wikipedia "Switched capacitor" maddesi [1]14 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış kaynaklar

• Terzi, Murat Anahtarlı kapasite filtrelerin pspice analizi ve tasarımı, İstanbul Univeristesi Fen Bilimler Fakultesi Yuksek Lisans Tezi
• R. Schaumann, M.S. Ghausi, K.R.Laker (1990) Design of analog filters: passive, active RC, and switched capacitor, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall series in electrical and computer engineering,
• Mingliang Liu ve Michael Liu (2006) Demystifying Switched-Capacitor Circuits, Newnes ISBN 0-7506-7907-7