Bernşteyn eşitsizliği (analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Bernşteyn eşitsizliği veya Bernşteyn eşitsizlikleri, polinomların kapalı bir aralıkta ya da bölgede aldığı maksimum değerle aynı polinomların türevlerinin aynı kümede aldığı maksimum değerlerle ilişkin bir eşitsizliktir. Eşitsizliklerin yazıldığı kapalı aralığa ya da bölgeye göre değişik biçimleri mevcuttur.

Tarihçe

Eşitsizlikler adını Rus matematikçi Sergey Natanoviç Bernşteyn'den almaktadır. Bernşteyn, eşitsizliği trigonometrik polinomlar için, ilk başta da kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, 1912'de kanıtlamıştır.^[1] Bu kanıtı, Bernşteyn, yaklaşıklık teorisi üzerinde çalışırken vermiştir.^[2]Hem sinüs hem de kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, eşitsizlik Leopold Fejér tarafından 1914'te kanıtlanmıştır.^[3] Bernşteyn, bu sonuçları daha sonra Edmund Landau'dan öğrenmiştir.^[4] Değişik kanıtlar 1914 yılında Marcel Riesz tarafından da verilmiştir.^[5][6] George Pólya ve Gábor Szegő tarafından 1925 tarafından verilmiş bir başka kanıt da vardır.^[7]

Eşitsizliğin ifâdesi

Eşitsizlik, gerçel ve karmaşık değişkenli polinomlar içn farklı şekillerde görülebilir.

Trigonometrik polinomlar için

${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ve ${\displaystyle b_{n}\neq 0}$ olmak üzere, gerçel sayılı bir

${\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{n}(a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt))}$

polinomu için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

${\displaystyle \max _{-\pi \leq t\leq \pi }|p'(t)|\leq n\max _{-\pi \leq t\leq \pi }|p(t)|.}$

Karmaşık değişkenli durum

Eşitsizlik, birim diskteki karmaşık bir polinom fonksiyonunun maksimum fonksiyonun mutlak değerini yine bu fonksiyonun birim diskteki türevinin maksimum mutlak değeri ile ilişkilendiren bir eşitsizliktir ve en basit hâlinde şu şekilde görülebilir:

Herhangi bir ${\displaystyle f(z)}$ fonksiyonunun ${\displaystyle |z|=1}$ üzerindeki maximum mutlak değeri ${\displaystyle \max _{|z|=1}|f(z)|}$ tarafından ve bu fonksiyonun türevi de ${\displaystyle f'(z)}$ tarafından gösterilsin. Derecesi ${\displaystyle n}$ olan her ${\displaystyle p(z)}$ polinomu için

${\displaystyle \max _{|z|=1}|p'(z)|\leq n\max _{|z|=1}|p(z)|}$

eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizliğin daha da iyileştirilmesi mümkün değildir ve eşitlik, ancak ve ancak ${\displaystyle p(z)=\alpha z^{n}}$ iken geçerlidir.^[8]

Yüksek mertebeli türevler için hâli

Yukarıda bahsedilen sonucun bir polinomların türevlerine arka arkaya k kere uygulanması sonucunda

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}|p^{(k)}(z)|\leq {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot \max _{|z|\leq 1}|p(z)|}$

elde edilir.

Benzer sonuçlar

Paul Erdős, ${\displaystyle p(z)}$ polinomunun ${\displaystyle |z|<1}$ içinde sıfır değeri olmadığı durumda ${\displaystyle \max _{|z|=1}|p'(z)|\leq {\frac {n}{2}}\max _{|z|=1}|p(z)|}$ sanıtladı. Bu sanıtı Peter Lax kanıtlamıştır.^[9]

Diğer taraftan, ${\displaystyle k\geq 1}$ iken, ${\displaystyle p(z)}$ polinomunun ${\displaystyle |z|<k}$ içinde sıfır değeri olmadığı durumda, ${\displaystyle \max _{|z|=1}|p'(z)|\leq {\frac {n}{1+k}}\max _{|z|=1}|p(z)|}$ olduğu M. A. Malik tarafından kanıtlanmıştır.^[10]

Ayrıca bakınız

• Markov kardeşler eşitsizliği
• Remez eşitsizliği

Kaynakça

1. Sergei Natanowitsch Bernstein: Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes. Académie Royale de Belgique, Classe des Sciences, Mémores Collection in 4., ser. II, Vol. 4 (1922). = Russian translation in Communications of the Kharkov Mathematical Society (CKMS) Vol. 13 (1912), 49-194.
2. R. P. Boas, Jr., Inequalities for the derivatives of polynomials, Math. Mag. 42 (1969), 165–174.
3. Leopold Fejér: Über konjugierte trigonometrische Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 144 (1914), S. 48–56 Online 23 Ocak 2025 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (7 Ocak 2025 tarihinde erişildi.)
4. Sergei Natanowitsch Bernstein: Leçons sur les Propriétés Extrémales et la Meilleure Approximation des Fonctions Analytiques d'une Variable Réelle. Gauthier-Villars, Paris 1926.
5. Marcel Riesz: Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome. Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Jahresbericht, Vol. 23 (1914), S. 354–368. Online 3 Haziran 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (abgerufen am 13. Mai 2014)
6. Marcel Riesz: Formule d'interpolation pour la dérivée d'un polynome trigonométrique. Comptes Rendus Hebdomaries, Séances de l'Académie des Sciences, Paris, Vol. 158 (1914), S. 1152–1154. Online 23 Ocak 2025 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (abgerufen am 13. Mai 2014)
7. George Pólya, Gábor Szegő: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Springer, Berlin 1925.
8. M. A. Malik, M. C. Vong, Inequalities concerning the derivative of polynomials, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 34 (1985), 422–426.
9. P. D. Lax, Proof of a conjecture of P. Erdös on the derivative of a polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 509–513.
10. M. A. Malik, On the derivative of a polynomial J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

İlgili kaynaklar

• Frappier, Clément (2004). "Note on Bernstein's inequality for the third derivative of a polynomial" (PDF). J. Inequal. Pure Appl. Math. Paper No. 7. 5 (1). ISSN 1443-5756. Zbl 1060.30003. 
• Natanson, I.P. (1964). Constructive function theory. Volume I: Uniform approximation. Alexis N. Obolensky tarafından çevrildi. New York: Frederick Ungar. MR 0196340. Zbl 0133.31101. 
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.