Cours d'Analyse

Baş sayfa

Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique Augustin-Louis Cauchy tarafından 1821'de yayınlanan sonsuz küçükler hesabında ufuk açıcı bir ders kitabıdır. Bu makale, kitabın içeriğini açıklarken Bradley ve Sandifer'in çevirisini takip etmektedir.

Giriş

Giriş'in 1. sayfasında Cauchy şöyle yazıyor:

“	"Fonksiyonların sürekliliğinden bahsederken, sonsuz küçük miktarların temel özelliklerinin, sonsuz küçük hesabın temeli olarak hizmet eden özelliklerin ele alınmasından vazgeçemedim."	„

Çevirmenler bir dipnotta şu yorumu yapıyor:

“	"Cauchy'nin burada limitlerden de bahsetmemesi ilginçtir."	„

Cauchy şöyle devam ediyor:

“	"Yöntemlere gelince, onlara geometriden istenen tüm kesinliği (rigor) vermeye çalıştım, böylece cebirin genelliğinden çıkarılan argümanlara asla güvenmek zorunda kalmazsınız."	„

Ön hazırlıklar

Sayfa 6'da, Cauchy önce değişken nicelikleri tartışır ve sonra limit kavramını aşağıdaki terimlerle ortaya koyar:

“	"Belirli bir değişkene art arda atfedilen değerler, sabit bir değere, ondan istediğimiz kadar farklı olacak şekilde, dilediğimiz gibi, süresiz olarak (sonsuzca) yaklaştığında, bu sabit değere diğer tüm değerlerin[1] limiti denir."	„

Sayfa 7'de, Cauchy bir sonsuz küçüğü aşağıdaki şekilde tanımlamaktadır:

“	"Böyle bir değişkenin ardışık sayısal değerleri,[not 1][1] verilen herhangi bir sayının altına düşecek şekilde süresiz olarak azaldığında, bu değişken sonsuz küçük veya sonsuz küçük miktar dediğimiz şey olur."	„

Cauchy şunları ekliyor:

“	"Bu tür bir değişkenin limiti sıfırdır."	„

Sayfa 10'da, Bradley ve Sandifer, versed kosinüs ile coversed sinüsü karıştırıyorlar. Cauchy başlangıçta sinüs versus (versine)'yi siv(θ) = 1 − cos(θ) olarak ve kosinüs versus (şimdi coversine^[2] olarak da bilinen) cosiv(θ) = 1 − sin(θ) olarak tanımladı. Bununla birlikte, çeviride, kosinüs versus (ve cosiv), versed sinüsten ziyade yanlış olarak versed kosinüs (şimdi vercosine^[3] olarak da bilinir) ile ilişkilendirildi.

lim

gösterimi sayfa 12'de tanıtılıyor. Çevirmenler bir dipnotta şunu gözlemlerler: "Lim" notasyonu, limit için ilk olarak Simon Antoine Jean L'Huilier (1750-1840) tarafından [L'Huilier 1787, s. 31]'de kullanıldı. Cauchy bunu [Cauchy 1821, s. 13]'te “lim” olarak yazdı. Dönem [Cauchy 1897, s. 26] ile ortadan kaybolmuştu."

Bölüm 2

Bu bölümün uzun başlığı "Sonsuz küçük ve sonsuz büyük nicelikler ve fonksiyonların sürekliliği üzerine. Çeşitli özel durumlarda fonksiyonların tekil değerleri." Sayfa 21'de, Cauchy şöyle yazıyor:

“	"Sayısal değeri sıfır limitine yakınsayacak şekilde süresiz olarak azaldığında, değişken bir niceliğin sonsuz derecede küçük olduğunu söylüyoruz."	„

Aynı sayfada, böyle bir değişkenin Cauchy'de bulunabilecek tek açık örneğini buluyoruz:

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

Sayfa 22'de Cauchy, sonsuz küçüklerin büyüklük dereceleri tartışmasını şu şekilde başlatır: ${\displaystyle \alpha }$ sonsuz küçük bir miktar, yani sayısal değeri sonsuza kadar azalan bir değişken olsun. ${\displaystyle \alpha }$'nın çeşitli tam sayı kuvvetleri olduğunda, yani

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

Aynı hesaplamaya girildiğinde, bu çeşitli kuvvetler sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü derece vb.'den sonsuz küçük olarak adlandırılır. Cauchy, "n dereceli sonsuz küçük miktarların genel biçiminin şöyle olacağını belirtir (burada n bir tam sayıyı temsil eder):

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ ya da en azından ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$ .

Sayfa 23-25'te Cauchy, çeşitli derecelerdeki sonsuz küçüklerin özellikleri üzerine sekiz teorem sunar.

Kısım 2.2

Bu kısmın adı "Fonksiyonların Sürekliliği"dir. Cauchy aşağıdaki şekilde yazıyor:

“	"Eğer bu limitler arasında bulunan bir x değeri ile başlayarak, x değişkenine sonsuz küçük bir ${\displaystyle \alpha }$ artışı eklersek, fonksiyonun kendisi fark kadar artırılır. ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ "	„

ve belirtir ki;

“	"Bu limitler arasındaki her x değeri için, ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ farkının sayısal değeri ${\displaystyle \alpha }$ sayısal değeriyle süresiz olarak azalırsa, f(x) fonksiyonu belirlenen limitler arasında x’in sürekli bir fonksiyonudur."	„

Cauchy, aşağıdaki terimlerle italik bir süreklilik tanımı sağlamaya devam ediyor:

“	"Eğer bu limitler arasında değişkendeki sonsuz küçük bir artış her zaman fonksiyonun kendisinde sonsuz küçük bir artış üretiyorsa f(x) fonksiyonu verilen limitler arasında x'e göre süreklidir."	„

Sayfa 32'de Cauchy, ara değer teoremini belirtir.

Toplam teoremi

Kısım 6.1'deki Teorem I'de (Bradley ve Sandifer tarafından yapılan çeviride sayfa 90), Cauchy toplam teoremini aşağıdaki terimlerle sunar.

“	Seri (1)'in çeşitli terimleri, serinin yakınsadığı belirli bir değerin komşuluğunda bu değişkene göre sürekli olan aynı x değişkeninin fonksiyonları olduğunda, serinin toplamı s de bu belirli değerin komşuluğunda x'in sürekli bir fonksiyonudur.	„

Burada seri (1) Sayfa 86'da görünür: (1) ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$^{[not 2][1]}

Kaynakça

Notlar

1. "Cours d'Analysis"te, Cauchy sayıları, "nicelikler" ve "işaretli olanlar" olarak adlandırarak ayırt eder. Dolayısıyla bu bağlamdaki "sayısal değer", modern dilde "gerçek bir sayının mutlak değeri"dir.
2. Buradaki "dizi", modern kullanımda olduğu gibi "dizilerin toplamı" anlamına gelir, ancak "Cours d'Analysis"te Cauchy, yakınsak serilerin toplamını temsil etmek için dizinin her terimini + ile bağlamak için gösterimi kullandı. Günümüzde seriler, her terimi virgülle ayırarak basitçe ifade edilir.

Dipnotlar

1. ^ Shigeto Nishimura; Masahito Takase (2010), Cours d'Analysis (Japonca), Matematiksel Bilimler Araştırma Enstitüsü, Kyoto Üniversitesi, ISBN 978-4863990821 
2. Eric W. Weisstein, Coversine (MathWorld)
3. Eric W. Weisstein, Vercosine (MathWorld)

Bibliyografya

• Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analyse Algébrique". Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. Erişim tarihi: 7 Kasım 2015.  ("Free version". archive.org. )
• Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (14 Ocak 2010) [2009]. Buchwald, J.Z. (Ed.). Cauchy's Cours d'analyse: An Annotated Translation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Cauchy, Augustin-Louis. Springer Science+Business Media, LLC. ss. 10, 285. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9. 24 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Kasım 2015. 
• Grabiner, Judith V. (1981). The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.