Derece (topoloji)

Topolojide derece, aynı boyutlu topolojik çokkatlılar arasındaki sürekli gönderimler için tanımlıdır. Çokkatlılar pürüzsüzse ve aradaki gönderim de pürüzsüzse gönderimin derecesi, olağan değerlerinin ters görüntüsündeki nokta sayısıyla ilişkilidir.

Matematiksel Tanım

Diferansiyel Topolojide tanımı

X ve Y, n boyutlu pürüzsüz çokkatlılar olsun. X tıkız ve kenarsız (kapalı), Y ise bağlantılı olsun. X'ten Y'ye pürüzsüz bir f gönderimi ve y=f(x) olmak üzere X ve Y'de x ve y noktaları verilsin. x in f gönderiminin kritik noktası olması demek f nin x noktasındaki türevinin rankının n olması demektir. Bu durumda y noktasına f nin bir kritik değeri denir. Y'de kritik olmayan tüm değerlere olağan değer denir. y olağan bir değer olmak üzere y ye giden noktaların mod 2'de sayılmasıyla hesaplanan sayıya f nin mod 2 derecesi denir ve ${\displaystyle deg_{2}f}$ olarak gösterilir:

${\displaystyle deg_{2}f=\#f^{-1}(y).}$

Burada ${\displaystyle \#}$ işareti, kendisini izleyen ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ kümesinin eleman sayısını göstermektedir. Bu sayının sonlu olması, X'in tıkızlığı ve y'nin olağan değer olmasıyla garanti edilir.

X ve Y çokkatlıları aynı zamanda yönlüyse, her birine verilen birer yön aracılığıyla tam sayı değerli bir derece tanımlanabilir. Şöyle ki, f X'ten Y'ye pürüzsüz bir gönderim ve y, f nin Y'de olağan bir değeri olsun. y ye giden her x noktası için, f nin x teki türevini df(x) olarak gösterelim. df(x), X'in x teki teğet vektör uzayı ${\displaystyle T_{x}X}$ ten Y'nin y deki teğet vektör uzayı ${\displaystyle T_{y}Y}$ ye doğrusal bir dönüşümdür. Seçilmiş yönlerin belirttiği tabanlarda hesaplanmış df(x) in determinantı pozitifse x noktasını +1, negatifse -1 sayarak elde edilen sayıya f nin derecesi denir ve ${\displaystyle degf}$ olarak gösterilir:

${\displaystyle degf=\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\mbox{isaret(det}}(Df(x))).}$