Girsanov teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde (daha özelde stokastik süreçlerde) Girsanov teoremi, stokastik süreçlerin ölçü değişimleri altında nasıl değiştiğini gösteren ve özellikle finansal matematikte yaygın uygulaması olan bir teoremdir. Teorem, finansal matematikte bir dayanak varlığın (bir hisse senedi fiyatı veya faiz oranı gibi) fiziksel ya da gözlemlenen bir ölçüde yazılan fiyat sürecinin riske duyarsız ölçüye nasıl dönüştürüleceğini gösterir. Teorem, stokastik diferansiyel denklemlerin zayıf çözümlerinin varlığını ve biricikliğini kanıtlamakta da yararlıdır.^{[not 1]}

Teoremin ifadesi

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ bir olasılık uzayı, ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ bu uzayın olağan koşulları sağlayan bir filtreleme ve ${\displaystyle W=\{W_{t}=(W_{t}^{(1)},\cdots ,W_{t}^{(d)}),{\mathcal {F}}_{t};0\leq t<\infty \}}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (W_{0}=0)=1}$ özelliğini sağlayan ${\displaystyle d}$ boyutlu Brown hareketi olsun.

${\displaystyle d}$ boyutlu ${\displaystyle X=\{X_{t}=(X_{t}^{(1)},\cdots ,X_{t}^{(d)}),{\mathcal {F}}_{t};0\leq t<\infty \}}$ süreci

• ölçülebilir,
• filtreye uyarlı
• ve aşağıdaki şartları sağlayan bir süreç olsun.

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\int _{0}^{T}(X_{t}^{(i)})^{2}dt<\infty \right)=1,\quad i=1,\cdots ,d,\quad 0\leq T<\infty .}$

Bu koşullar altında

${\displaystyle \displaystyle Z_{t}(X):=e^{\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}X_{s}^{(i)}dW_{s}^{(i)}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}E[X_{t}^{2}]ds}}$

iyi tanımlıdır.^{[not 2]}

Girsanov teoremi,^{[not 3]} eğer ${\displaystyle Z_{t}(X)}$ süreci martingalse

${\displaystyle \mathbb {\tilde {P}} (A):=E[1_{A}Z_{T}(X)]\quad \forall A\in {\mathcal {F}}_{T}}$

tanımının yeni bir olasılık ölçüsü verdiğini ve sabit alınmış bir ${\displaystyle T\in [0,\infty )}$ değeri için,

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}^{(i)}:=W_{t}^{(i)}-\int _{0}^{t}(X_{s}^{(i)})ds\quad i=1,\cdots ,d,\quad 0\leq t<\infty .}$

biçiminde tanımlanan ${\displaystyle \{{\tilde {W}}_{t}=({\tilde {W}}_{t}^{(1)},\cdots ,{\tilde {W}}_{t}^{(d)}),{\mathcal {F}}_{t};0\leq t\leq T\}}$ sürecinin ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {\tilde {P}} )}$ olasılık uzayında ${\displaystyle d}$-boyutlu Brown hareketi olduğunu söyler.

Bu teoremin ifadesi değişik kaynaklarda basitleşirilmiş ya da değişik kriterleri sağlayan halleriyle sunulabilir.^{[not 4]}

Yukarıda verilen ${\displaystyle d}$ boyutlu ${\displaystyle X=\{X_{t}=(X_{t}^{(1)},\cdots ,X_{t}^{(d)}),{\mathcal {F}}_{t};0\leq t<\infty \}}$ süreci için,

${\displaystyle E\left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}E[X_{s}^{2}]\,ds}\right]<\infty ,\quad 0\leq T<\infty }$

koşulu sağlanıyorsa, o zaman ${\displaystyle X}$ bir martingal olur ve Girsanov teoreminin şartı sağlanmış olur. Bu koşula Novikov kriteri ya da Novikov koşulu denir.

Finans başta olmak üzere birçok durumda, teoremdeki ${\displaystyle X}$ süreci karşımıza

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}}$

halinde çıkar. Bu biçimdeki bir ${\displaystyle X}$ sürecinin martingale olması için yeterli ve gerekli koşul Novikov koşulunun sağlanmasıdır; yani,

${\displaystyle E\left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds}\right]<\infty }$

olmasıdır. Bu durumda, ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds}$ tanımlanırsa, her ${\displaystyle t\in [0,T]}$ için bir ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$-Brown hareketi elde edilir.

Finansta kullanımı

${\displaystyle W_{t}}$ bir ${\displaystyle \mathbb {P} }$ olasılık ölçüsü altında Brown hareketi, ${\displaystyle \mu ,r\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma >0}$ ve

${\displaystyle dS_{t}=S_{t}(\mu dt+\sigma dW_{t})}$

geometrik Brown hareketi olsun.

Her ${\displaystyle t>0}$ için, ${\displaystyle \theta _{t}={\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ve ${\displaystyle \zeta _{t}=-\int _{0}^{t}\theta _{s}dW_{s}}$ tanımlansın. O zaman

${\displaystyle L_{t}:=e^{-\int _{0}^{t}\theta _{s}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\theta _{s}^{2}ds}}$

için, ${\displaystyle dL_{t}=-\theta L_{t}dW_{t}}$ olur. Eğer ${\displaystyle \mathbb {Q} |_{\mathcal {F_{t}}}=L_{t}\mathbb {P} |_{\mathcal {F_{t}}}}$ olarak tanımlanırsa, ${\displaystyle B_{t}=W_{t}+\theta t}$ süreci ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ölçüsü altında Brown hareketi olur. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$'ya finansal matematikte riske duyarsız ölçü denir. Black-Scholes formülünün bir kanıtı bu ölçü altında verilebilir.

Notlar

1. Karatzas & Shreve 1991, s. 302'ye bakınız.
2. ${\displaystyle Z_{t}(X)}$ ifadesinin aslında ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}X_{s}ds\right)_{t}}$ ifadesi olduğu gözden kaçmamalıdır. Burada, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ Doléans-Dade üsteli notasyonudur.
3. Karatzas & Shreve 1991, s. 191'e bakınız.
4. Mesela, Oksendal 2003, s. 155'ten başlayarak değişik varsayimlar altında bu teoremin üç değişik versiyonu sunulmuştur.

Kaynakça

• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6 
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.