Hermite-Hadamard eşitsizliği

Hadamard eşitsizliği ile karıştırılmamalıdır.

Matematikte, Hermite-Hadamard eşitsizliği bazen Hadamard eşitsizliği olarak da adlandırılan ve dışbükey fonksiyonların ortalama değerinin hem aşağıdan hem de yukarıdan kestirimini veren bir eşitsizliktir.^[1] Eşitsizlik, Charles Hermite ve Jacques Hadamard'ın adını taşımaktadır.^[2][3]

Eşitsizliğin ifâdesi

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ dışbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Daha genel olarak,^[4] ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ sınırlı, dışbükey bir bölge ve ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ dışbükey bir fonksiyon olsun ve aynı zamanda ${\displaystyle f|_{\partial \Omega }\geq 0}$ sağlansın. O zaman,

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)d\sigma (y)}$

olur. Burada, ${\displaystyle |\Omega |}$ kümenin Lebesgue hacmi, ${\displaystyle |\partial \Omega |}$, ${\displaystyle \Omega }$nın topolojik sınırının yüzey alanı, ${\displaystyle c_{n}}$ ise sadece boyuta bağlı bir sabittir.

Kaynakça

1. Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), sf. 95–106.
2. C. Hermite, Sur deux limites dune integrale define, Mathesis, 3 (1883), 82.
3. J. Hadamard, Etude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, p. 171–215.
4. Stefan Steinerberger, The Hermite-Hadamard Inequality in Higher Dimensions, The Journal of Geometric Analysis, 2019.