Jung teoremi

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

Açıklama

Bir kompakt küme düşünün

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

ve

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\|p-q\|_{2}}$ olsun

${\displaystyle K}$'nin çapı, yani herhangi iki noktası arasındaki en büyük Öklid mesafe olsun. Jung teoremi, yarıçapı aşağıdaki eşitsizliği sağlayan ve ${\displaystyle K}$'yi içeren bir kapalı topun olduğunu belirtir.

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$

Eşitliğin sınır durumu, normal ${\displaystyle n}$-simpleks ile elde edilir.

Düzlemde Jung teoremi

En yaygın olanı, düzlemdeki Jung teoremi, yani ${\displaystyle n=2}$'dir. Bu durumda teorem, yarıçapı karşılayan tüm noktaları çevreleyen bir çember olduğunu belirtir.

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

${\displaystyle R}$ üzerinde daha sıkı bir sınır gösterilemez: ${\displaystyle K}$ bir eşkenar üçgen (veya onun üç köşesi) olduğunda,

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}}$'dir.

Genel metrik uzaylar

Herhangi bir metrik uzayda, herhangi bir sınırlı ${\displaystyle S}$ kümesi için, ${\displaystyle {\frac {d}{2}}\leq r\leq d}$'dir. İlk eşitsizlik, topun merkezi ve iki çapsal nokta için üçgen eşitsizliği ile ifade edilir ve ikinci eşitsizlik, ${\displaystyle S}$'nin herhangi bir noktasında merkezlenen ${\displaystyle d}$ yarıçaplı bir top tüm ${\displaystyle S}$'yi içereceği için ilkini takip eder. Düzgün bir metrik uzayda, yani tüm mesafelerin eşit olduğu bir uzayda, ${\displaystyle r=d}$'dir. Spektrumun diğer ucunda, düzlemdeki Manhattan mesafesi gibi bir enjekte edici metrik uzayda, ${\displaystyle r={\frac {d}{2}}}$: ${\displaystyle S}$ noktalarında merkezlenmiş ${\displaystyle {\frac {d}{2}}}$ yarıçaplı herhangi iki kapalı küre boş olmayan bir kesişme noktasına sahiptir, bu nedenle tüm bu tür topların ortak bir kesişme noktası vardır ve bu kesişme noktasında ortalanmış ${\displaystyle {\frac {d}{2}}}$ yarıçaplı bir top, ${\displaystyle S}$'nin tamamını içerir. Çeşitli Öklid dışı geometriler için Jung teoreminin versiyonları da bilinmektedir (bkz. örneğin Dekster 1995, 1997).

Kaynakça

• Katz, M. (1985). "Jung's theorem in complex projective geometry". Quart. J. Math. Oxford. 36 (4): 451-466. doi:10.1093/qmath/36.4.451. 
• Dekster, B. V. (1995). "The Jung theorem for the spherical and hyperbolic spaces". Acta Math. Hungar. 67 (4): 315-331. doi:10.1007/BF01874495. 
• Dekster, B. V. (1997). "The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above". Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (8): 2425-2433. doi:10.1090/S0002-9939-97-03842-2. 
• Jung, Heinrich (1901). "Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt". J. Reine Angew. Math. (Almanca). 123: 241-257. 30 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2021. 
• Jung, Heinrich (1910). "Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt". J. Reine Angew. Math. (Almanca). 137: 310-313. 30 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Nisan 2021. 
• Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto (1990). The Enjoyment of Mathematics. Dover. chapter 16. ISBN 978-0-486-26242-0. 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Jung's Theorem (MathWorld)