Kaçurovskiy teoremi

Matematikte Kaçurovskiy teoremi, bir Banach uzayı üzerindeki fonksiyonun dışbükeyliğini bu fonksiyonun Fréchet türevine ilişkilendiren bir sonuçtur. Bu sonuç, matematikçi R.I. Kaçurovskiy'in adını taşımaktadır.^[1]

Teoremin ifâdesi

${\displaystyle V}$ bir Banach uzayı, ${\displaystyle K}$ ise bu uzayın dışbükey bir altkümesi olsun. ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ genişletilmiş gerçel sayılarda değer alan ve ${\displaystyle K}$ üzerindeki her ${\displaystyle x}$ noktasında Fréchet türevi olan bir fonksiyon olsun ve bu türev ${\displaystyle df(x)=V\to \mathbb {R} }$ ile gösterilsin. O zaman, aşağıdaki ifâdeler birbirine denk ifadelerdir.^[2]

• ${\displaystyle f}$ dışbükey bir fonksiyondur.
• ${\displaystyle K}$deki her ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ için

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)(y-x)\leq f(y)-f(x)}$

olur.

• ${\displaystyle df}$ artan bir operatördür; yâni, ${\displaystyle K}$deki her ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ için

${\displaystyle {\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(x-y)\geq 0}$

sağlanır.

Kaynakça

1. Kachurovskii, R. I. (1960). "On monotone operators and convex functionals". Uspekhi Mat. Nauk. 15 (4): 213–215. 
2. Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. ss. 80. ISBN 0-8218-0500-2.  MR1422252 (Proposition 7.4)