Sard teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan analiz ve diferansiyel geometride Sard teoremi (bazen Sard önsavı) ya da Morse-Sard teoremi, bir Öklid uzayı veya manifolddan yine başka bir Öklid uzayı ya da manifolda tanımlanan pürüzsüz fonksiyonun kritik değerler kümesinin (yani, kritik noktaların görüntü kümesinin) Lebesgue ölçüsünün sıfır olduğunu ifade eder. Teorem, Anthony Morse ve Arthur Sard'ın adlarını taşımaktadır.

İfadesi

Öklid uzayı

${\displaystyle n{\text{ ve }}m}$ pozitif tamsayı ve ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ olmak üzere,

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

fonksiyonu ${\displaystyle C^{k}}$ olsun; yani, ${\displaystyle k}$ kere sürekli türevlenebilen bir fonksiyon olsun. ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$, fonksiyonun kritik noktalarının kümesi olsun; yani, fonksiyonun Jacobi matrisinin kertesinin (rankının) ${\displaystyle m}$'den küçük olduğu noktaların kümesini ${\displaystyle X}$ ile gösterelim. O zaman,^[1] ${\displaystyle f(X)}$ kümesinin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$de Lebesgue ölçüsü sıfırdır.

Sezgisel olarak tarif edilirse, ${\displaystyle X}$ kümesi tanım kümesinin içinde büyük olabilir. Ancak, bu kümenin görüntüsü Lebesgue ölçüsü anlamında küçüktür. Diğer deyişle, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ içinde kritik noktalar çok olabilir ama ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ içinde kritik değerler azdır.

Manifoldlar için tanım

Boyutları ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$ olan ${\displaystyle M}$ ve ${\displaystyle N}$ türevlenebilen manifoldları arasında

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

${\displaystyle C^{k}}$ fonksiyonu verilmiş olsun. Bu fonksiyonun kritik noktaları, ${\displaystyle f}$nin diferansiyelinin, yani,

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

gönderiminin bir doğrusal dönüşüm olarak kertesinin (rankının) ${\displaystyle m}$'den küçük olduğu noktalardır. Eğer ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ olursa, Sard teoremine göre, ${\displaystyle f(X)}$ kümesinin ${\displaystyle M}$ manifoldunun altkümesi olarak ölçüsü sıfırdır.

Sonucun bu hâli, sayılabilir bir koordinat yamaları kümesi aldıktan sonra Öklid uzayları için olan halini kullanarak çıkar. Teoremin sonucu yerel bir ifadedir; çünkü, ölçüsü sıfır kümelerin sayılabilir birleşiminin ölçüsü yine sıfırdır. Sıfır ölçüye sahip bir koordinat yamasının bir alt kümesinin özelliği difeomorfizma altında değişmez bir özelliktir.

Değişik halleri

Teoremin ilk halleri ${\displaystyle m=1}$ iken Anthony P. Morse tarafından 193'da^[2] daha genel hâli ise Arthur Sard tarafından 1942'de kanıtlanmıştır^[1] Teoremin tekillik teorisi başta olmak üzere birçok alanda, uyarlanmış, değişik hâlleri de vardır. Sonsuz boyutlu Banach manifoldları için olan bir hâli Stephen Smale tarafından kanıtlanmıştır.^[3] Teoremin buradaki ifadesi oldukça güçlüdür ve kanıtı analiz içerir. Topolojide, Brouwer sabit nokta teoreminde ve Morse teorisindeki bazı uygulamalarda olduğu gibi, "sabit olmayan pürüzsüz bir gönderimin en az bir tane regüler değeri vardır" şeklindeki daha zayıf sonucu kanıtlamak için sıklıkla alıntılanır.

1965 yılında Sard teoremini daha da genelleştirerek şunu elde etti: ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ olmak üzere, ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ gönderimi ${\displaystyle C^{k}}$ ise ve ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ kümesi ${\displaystyle df_{x}}$'in kertesinin ${\displaystyle r}$'den kesinlikle küçük olduğu ${\displaystyle x\in N}$ noktalarından oluşan küme ise, o zaman, ${\displaystyle f(A_{r})}$ kümesinin 'r-boyutlu Hausdorff ölçüsü sıfırdır.^[4] Ayrıca, ${\displaystyle f(A_{r})}$ kümesinin Hausdorff boyutu en fazla r olur; ancak, ${\displaystyle f(A_{r})}$ kümesinin Hausdorff boyutu r 'ye keyfi derecede yakın olabilir.^[5]

Kaynakça

1. ^ Sard, Arthur (1942), "The measure of the critical values of differentiable maps", Bulletin of the American Mathematical Society, 48 (12), ss. 883-890, doi:10.1090/S0002-9904-1942-07811-6, MR 0007523, Zbl 0063.06720 
2. Morse, Anthony P. (January 1939), "The behaviour of a function on its critical set", Annals of Mathematics, 40 (1), ss. 62-70, Bibcode:1939AnMat..40...62M, doi:10.2307/1968544, JSTOR 1968544, MR 1503449. 
3. Smale, Stephen (1965), "An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem", American Journal of Mathematics, 87 (4), ss. 861-866, doi:10.2307/2373250, JSTOR 2373250, MR 0185604, Zbl 0143.35301. 
4. Sard, Arthur (1965), "Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds", American Journal of Mathematics, 87 (1), ss. 158-174, doi:10.2307/2373229, JSTOR 2373229, MR 0173748, Zbl 0137.42501  and also Sard, Arthur (1965), "Errata to Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds", American Journal of Mathematics, 87 (3), ss. 158-174, doi:10.2307/2373229, JSTOR 2373074, MR 0180649, Zbl 0137.42501. 
5. "Show that f(C) has Hausdorff dimension at most zero", Stack Exchange, 18 Temmuz 2013