Stein manifoldu

Stein uzayı ile karıştırılmamalıdır.

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde ve karmaşık manifoldlar teorisinde Stein manifoldu karmaşık koordinat uzayındaki holomorfluk bölgesi kavramını manifoldlara genelleştiren bir kavramdır. Stein manifoldları, bu tür manifoldları ilk defa tanımlayan^[1] Karl Stein'ın adını taşımaktadır.

Diğer taraftan, Stein uzayı Stein manifolduna benzer ancak bu uzayların tekilliklere sahip olmasına izin verilir. Stein manifoldları bir başka bakış açısıyla Riemann yüzeylerini yüksek boyutlara genelleştirirken, Stein uzayları, cebirsel geometrideki afin varyete veya afin şemalara karşılık gelmektedir.

Tanım

${\displaystyle X}$ karmaşık boyutu ${\displaystyle n}$ olan bir karmaşık manifold olsun. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ise ${\displaystyle X}$ üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların halkası olsun. Aşağıdaki koşullar sağlandığında ${\displaystyle X}$'e Stein manifoldu denir.

• ${\displaystyle X}$ holomorf dışbükeydir. Bir başka deyişle, ${\displaystyle X}$in altkümesi olan her tıkız ${\displaystyle K}$ için, ${\displaystyle K}$nin holomorf dışbükey kaplamı

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\}}$

${\displaystyle X}$in yine tıkız bir altkümesidir.

• ${\displaystyle X}$ holomorf ayrılabilirliğe sahiptir. Yâni, ${\displaystyle X}$in birbirindenn farklı herhangi iki noktası ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ için ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$ özelliğini sağlayacak bir ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ vardır.

Tıkız olmayan Riemann yüzeyleri

${\displaystyle X}$ bağlantılı ve tıkız olmayan bir Riemann yüzeyi olsun. Behnke ve Stein tarafından bir teorem vesilesiyle X Stein manifoldudur.^[2]

Hans Grauert ve Helmut Röhrl'e ve 1956 yılına atfedilen^[3] başka bir sonuç ise ${\displaystyle X}$ üzerindeki her holomorf vektör demetinin aşikar olduğunu belirtir. Özellikle, her doğru demeti aşikârdır ve böylece ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$ olur. Üstel demet dizisi de aşağıdaki tam diziyi verir:

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

O zaman, Cartan B teoremi ile ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ elde edilir. Böylelikle, ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$ olur ki bu gösterilenler de İkinci Cousin probleminin çözümüyle alâkalıdır.

Örnekler

• Karmaşık koordinat uzayı ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ Stein manifoldudur.
• Stein manifoldlarının tanımı holomorfluk bölgesi tanımını daha da karmaşık manifoldlara doğru genellediği için doğal olarak karmaşık koordinat uzayındaki her bir holomorfluk bölgesi Stein manifoldu olacaktır.
• Tıkız karmaşık manifoldlar Stein olamaz çünkü bu tür karmaşık manifoldlar üzerinde holomorf fonksiyonlar yoktur. Ancak, diğer taraftan, her tıkız karmaşık manifold holomorf dışbükeyliğe sahiptir. Bu yüzden, bağlantılı bir Riemann yüzeyinin Stein manifoldu olabilmesi için açık olması gerekli ve yeterlidir.
• Her Stein manifoldunun kapalı karmaşık bir altmanifoldu yine Stein manifoldudur.
• Hans Grauert'in ispatladığı derin bir teorem sayesinde kesin çoklualtharmonik tüketme fonksiyonlarına sahip olan karmaşık manifoldlar Stein manifoldudur.^[4]

Özellikler

• Stein manifoldunun tanımı gereği tıkız olmaması gereklidir.
• Reinhold Remmert, Errett Bishop ve Raghavan Narasimhan tarafından ayrı ayrı ispatlanan sonuçlar sayesinde karmaşık boyutu ${\displaystyle n}$ olan bir ${\displaystyle M}$ karmaşık manifoldunun Stein manifoldu olabilmesi için uygun, regüler ve birebir olan holomorf bir ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} ^{2n+1}}$ gömme fonksiyonu bulunması gerekli ve yeterlidir.^[5][6][7][8]

Sonsuz türevli manifoldlarla ilişkisi

Boyutu ${\displaystyle 2n}$ olan ve kulp indislerinin boyutunun ${\displaystyle n}$'den küçük olduğu tıkız ve sonsuz türevli manifoldların ${\displaystyle n>2}$ olduğu sürece Stein yapısı vardır. ${\displaystyle n=2}$ olduğunda ise yine aynı sonuç 2-kulplar belli çerçevelemelerle tutturulmuşsa geçerlidir.^[9][10] Kapalı ve sonsuz türevli her 4-manifold, birbirlerine sınırlarından yapıştırılmış iki tane Stein 4-manifoldun birleşimidir.^[11]

Kaynakça

1. Karl Stein (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ann. (Almanca), cilt 123, ss. 201-222, doi:10.1007/BF02054949  |erişim-tarihi= kullanmak için |url= gerekiyor (yardım)
2. Heinrich Behnke, Karl Stein (1947), "Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen", Math. Ann. (Almanca), cilt 120, ss. 430-461, doi:10.1007/BF01447838  |erişim-tarihi= kullanmak için |url= gerekiyor (yardım)
3. Maurin, Krzysztof (2013). The Riemann Legacy: Riemannian Ideas in Mathematics and Physics. Netherlands: Springer. s. 572. ISBN 9789401589390. Erişim tarihi: 11 Kasım 2024. 
4. Hans Grauert (1958), "On Levi's Problem and the Imbedding of Real-Analytic Manifolds.", Annals of Mathematics (İngilizce), 68 (2), ss. 460-472, doi:10.2307/1970257  |erişim-tarihi= kullanmak için |url= gerekiyor (yardım)
5. Range, R. Michael (2013). Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables. New York: Springer. s. 130. ISBN 9781475719185. Erişim tarihi: 11 Kasım 2024. 
6. Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
7. Errett Bishop (1961), "Mappings of Partially Analytic Spaces.", American Journal of Mathematics (İngilizce), 83 (2), ss. 209-242, doi:10.2307/2372953  |erişim-tarihi= kullanmak için |url= gerekiyor (yardım)
8. Raghavan Narasimhan (1961), "The Levi problem for complex spaces", Math. Ann. (İngilizce), cilt 142, ss. 355-365, doi:10.1007/BF01451029  |erişim-tarihi= kullanmak için |url= gerekiyor (yardım)
9. Yakov Eliashberg, Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2, International Journal of Mathematics vol. 1, no 1 (1990) 29–46.
10. Robert Gompf, Handlebody construction of Stein surfaces, Annals of Mathematics 148, (1998) 619–693.
11. Selman Akbulut and Rostislav Matveyev, A convex decomposition for four-manifolds, International Mathematics Research Notices (1998), no.7, 371–381. MR1623402