Sıfır (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır.^{[not 1]} Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Sıfırın katlılığı

Eğer f holomorf fonksiyonu, a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak

${\displaystyle f(z)=(z-a)g(z)\,}$

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a 'ya f 'nin basit sıfırı veya katlılığı 1 olan sıfırı adı verilir. Bu tanım genelleştirilebilir: Eğer a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak, holomorf bir f fonksiyonu

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z)\,}$

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a, f 'nin katlılığı n olan sıfırıdır. Bu terimler, bu hâlleriyle kesin bir kullanıma sahip değildirler. Sıfırlarından bahsedilen holomorf bir fonksiyon varsa, a, katlılığı n olan bir sıfırdır demekle f'nin a noktasındaki sıfır katlılığı n'dir demek birbirine denk gelen ifadelerdir.

Bir değişkenli holomorf bir f fonksiyonun sıfırlarının oluşturduğu ${\displaystyle Z_{f}}$ kümesine F 'nin sıfır kümesi adı verilir; yani ${\displaystyle Z_{f}=\{a\in \mathbb {C} :f(a)=0\}}$.

Sıfırların varlığı ve özellikleri

Karmaşık düzlemdeki holomorf bir polinomun sıfırlarının varlığını kanıtlayan teorem cebirin temel teoremidir. Bu durum, gerçel sıfırlar göz önüne alındığında doğru olmayabilir. Örneğin, f(x) = x² + 1 fonksiyonu her ne kadar gerçel katsayılara sahipse de, bu fonksiyona sıfır değerini aldıracak gerçel bir kök bulunmamaktadır.

Polinomlar için geçerli bu durum karmaşık düzlemdeki tüm fonksiyonlar için geçerli olmayabilir. Mesela, her tam fonksiyon sıfıra sahip olmayabilir. Buna basit bir örnek olarak karmaşık üstel fonksiyon verilebilir. Üstel fonksiyon, karmaşık düzlemde, 0 değeri hariç her değeri sonsuz kere alır. Ancak, sabit olmayan bir tam fonksiyonun almadığı değer sayısı da Picard teoreminin sayesinde en fazla 1 tane olabilir.^[1][2]

Belli noktalarda, sonlu veya sonsuz sayıda, sıfıra sahip bir fonksiyon oluşturmak içinse Blaschke çarpımları kullanılır. bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki açık bir alt kümesindeki sıfır sayısını bulmak için ise genelde Rouché teoremi kullanılır. Karmaşık analizin sıfırları ilgilendiren önemli teoremleri arasında Jensen formülü ve Weierstrass çarpım teoremi de vardır.^[1][2]

Bir değişkenli holomorf fonksiyonların sıfırları hakkındaki önemli bir özellik, bu sıfırların korunmalı yani yalıtık olmasıdır. Yani, f 'yi sıfır yapan bir a karmaşık sayısı etrafında öyle küçük bir daire bulanabilir ki bu daire içindeki tüm noktalar arasından sadece a noktasında f sıfır değeri alır.

Sıfırların korunmalı özellik durumu, tek karmaşık değişkenli holomorf fonksiyonlar için geçerlidir. Çok değişkenli karmaşık analizde incelenen ve birden fazla değişkene sahip holomorf fonksiyonların Hartogs devam teoremi sayesinde böyle bir özelliği yoktur.

Ayrıca bakınız

• Kök (karmaşık analiz)
• Kutup (karmaşık analiz)
• Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)
• Rouché teoremi

Notlar

1. Kök terimi daha çok polinomlar bahis konusu olduğunda kullanılmaktadır.

Kaynakça

1. ^ Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-90328-3 
2. ^ Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable II, Springer, ISBN 0-387-94460-5 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Root (MathWorld)
• Sıfırlar ve Kutuplar modülü, John H. Mathews tarafından