Ікосіани

Ікосіани — некомутативна алгебрична структура, яку 1856 року виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон^[1][2]. У сучасній термінології він знайшов задання групи обертань ікосаедра^[en] за допомогою генераторів та зв'язків.

Відкриття Гамільтона виникло з його спроб знайти алгебру «трійок» (3-кортежів), які, як він вірив, відбиватимуть осі координат. Ікосіани можна ототожнити з переміщеннями по вершинах додекаедра. Робота Гамільтона в цій галузі опосередковано призвела до гамільтонових циклів і гамільтонових шляхів у теорії графів^[3]. Для ілюстрування та популяризації свого відкриття він також винайшов гру «Ікосіан».

Неформальне визначення

Стереографічна проєкція додекаедра, яку Гамільтон використав для гри «Ікосіан»

Алгебра ґрунтується на трьох символах, які є коренями з одиниці, так що послідовне застосування будь-якого з них через кілька кроків приводить до одиниці. Це:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}}$

Гамільтон також дав інший зв'язок між символами:

${\displaystyle \lambda =\iota \kappa .}$

(В сучасних термінах це (2,3,5) група трикутника.)

Операція асоціативна, але не комутативна. Вона утворює групу 60-го порядку, ізоморфну групі обертань правильного ікосаедра або додекаедра, а тому знакозмінної групи п'ятого степеня.

Хоча алгебра існує як цілком абстрактна побудова, її можна наочно подати в термінах операцій із вершинами додекаедра. Гамільтон сам використав плоске подання додекаедра як основу гри.

Уявімо жука, що повзе вздовж певного ребра додекаедра (з позначеними вершинами) у певному напрямку, скажімо, від ${\displaystyle B}$ до ${\displaystyle C}$ . Ми можемо подати це як орієнтовану дугу ${\displaystyle BC}$.

Геометричне подання операції ${\displaystyle \iota }$ для ікосіанів

• Ікосіан ${\displaystyle \iota }$ прирівнюється до зміни напрямку будь-якого ребра, так що жук буде повзти від ${\displaystyle C}$ до ${\displaystyle B}$ (в напрямку дуги ${\displaystyle CB}$).

• Ікосіан ${\displaystyle \kappa }$ прирівнюється до обертання поточного напрямку жука проти годинникової стрілки навколо кінцевої вершини. У прикладі це означає зміна поточного напрями ${\displaystyle BC}$ на ${\displaystyle DC}$ .

• Ікосіан ${\displaystyle \lambda }$ прирівнюється до правого повороту в кінцевій точці, тобто переході від ${\displaystyle BC}$ до ${\displaystyle CD}$.

Спадщина

Ікосіани є одним із найраніших прикладів багатьох математичних ідей, зокрема:

• подання та вивчення груп за допомогою генераторів та зв'язків;
• групи трикутника, пізніше узагальненої групи Коксетера;
• візуалізації групи за допомогою графа, що привела до комбінаторної теорії груп, а пізніше — до геометричної теорії груп;
• гамільтонових циклів та шляхів у теорії графів^[3];
• dessin d'enfant^[en][4][5].

Примітки

1. Sir William Rowan Hamilton. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12 (25 грудня). — С. 446.
2. Thomas L. Hankins. Sir William Rowan Hamilton. — Baltimore, 1980. — С. 474. — ISBN 0-8018-6973-0.
3. Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson. Graph theory 1736—1936. — Oxford : Clarendon Press, 1976. — С. 239. — ISBN 0-19-853901-0.
4. Gareth Jones. Dessins d'enfants: bipartite maps and Galois groups // Séminaire Lotharingien de Combinatoire. — 1995. — Т. B35d (25 грудня). — С. 4. Архівовано з джерела 8 квітня 2017.
5. W. R. Hamilton. Mathematical papers, Vol. III, Algebra / H. Halberstam, R. E. Ingram. — Cambridge : Cambridge University Press, 1967. — С. 612—625.