Блок-схема (математика)

Блок-схема^[1] — це множина разом із сімейством підмножин (у деяких випадках дозволено повторення підмножин), члени якого задовольняють деяким властивостям, які вважаються корисними для конкретного застосування. Ці застосування стосуються різних галузей, зокрема, планування експерименту, скінченної геометрії, тестування програмного забезпечення, криптографії та алгебричної геометрії. Розглядалося багато варіантів, але найінтенсивніше вивчалися зрівноважені неповні блок-схеми^[1] (Balanced Incomplete Block Designs, BIBD, 2-схеми), які історично пов'язані зі статистичними задачами при плануванні експерименту^[2][3].

Блок-схему, де всі блоки мають один розмір, називають однорідною. Всі схеми, обговорювані в цій статті, однорідні. Попарно зрівноважені схеми (Pairwise balanced designs, PBD) є прикладами блок-схем, які не обов'язково однорідні.

Визначення BIBD (або 2-схеми)

Якщо задана скінченна множина ${\displaystyle X}$(елементів, які називають точками ) і цілі числа ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$, ми визначаємо 2-схему B як сімейство ${\displaystyle k}$-елементних підмножин множини ${\displaystyle X}$, таких, що будь-який елемент ${\displaystyle x}$ із ${\displaystyle X}$ міститься в ${\displaystyle r}$ блоках, і будь-яка пара різних точок ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle X}$ міститься в ${\displaystyle \lambda }$ блоках.

Слово «сімейство» у визначенні вище можна замінити словом «множина», якщо повторення блоків не дозволяється. Схеми, в яких повторення блоків заборонено, називають простими.

Тут ${\displaystyle v}$ (кількість елементів ${\displaystyle X}$, званих точками), ${\displaystyle b}$ (кількість блоків), ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle \lambda }$ є параметрами схеми. (Щоб уникнути вироджених прикладів, передбачається, що ${\displaystyle v>k}$, отже жоден блок не містить усіх елементів множини. Тому в назві схем є слово «неповні».) В таблиці:

v	точки, число елементів X
b	число блоків
r	число блоків, які містять дану точку
k	число точок у блоці
λ	число блоків, які містять будь-які 2 (або, загальніше, t) точок

Схему називають ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$-схемою або ${\displaystyle (v,b,r,k,\lambda )}$-схемою. Параметри не є незалежними — ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \lambda }$ визначають ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle r}$, і не всі комбінації ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \lambda }$ допустимі. Дві основні рівністі, що містять ці параметри:

${\displaystyle bk=vr,}$

виходить з підрахунку пар ${\displaystyle (B,p)}$, де ${\displaystyle B}$ — блок, а ${\displaystyle p}$ — точка в цьому блоці;

${\displaystyle \lambda (v-1)=r(k-1),}$

виходить з підрахунку трійок ${\displaystyle (p,q,B)}$, де ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ — різні точки, і ${\displaystyle B}$ — блок, що містить обидві точки, і ділення числа трійок на ${\displaystyle v}$.

Ці умови не достатні, оскільки, наприклад, (43,7,1)-схеми немає^[4].

Порядок 2-схеми визначають як ${\displaystyle n=r-\lambda }$. Доповнення 2-схеми отримують заміною кожного блока його доповненням у множині точок X. Доповнення є також 2-схемою і має параметри ${\displaystyle v'=v}$, ${\displaystyle b'=b}$, ${\displaystyle r'=b-r}$, ${\displaystyle k'=v-k}$, ${\displaystyle \lambda '=\lambda +b-2r}$. 2-Схема та її доповнення мають однаковий порядок.

Фундамендальна теорема, нерівність Фішера, названа ім'ям статистика Рональда Фішера, стверджує, що в будь-якій 2-схемі ${\displaystyle b\geqslant v}$.

У термінах теорії графів визначення 2-схеми можна переформулювати так: блок-схема — це покриття з кратністю ${\displaystyle \lambda }$ повного графа на ${\displaystyle v}$ вершинах повними графами на ${\displaystyle k}$ вершинах. Блок-схеми при ${\displaystyle k=0,1}$ і ${\displaystyle v}$ тривіальні, тому зазвичай передбачається, що ${\displaystyle 2\leqslant k\leqslant n-1}$.

Приклади

Єдина (6,3,2)-схема має 10 блоків (b = 10) і кожен елемент повторюється 5 разів (r = 5)^[5]. Якщо використовувати символи 0—5, блоки містять такі трійки:

012  013  024  035  045  125  134  145  234  235.

Одна із чотирьох неізоморфних (8,4,3)-схем має 14 блоків, у яких елементи повторюються 7 разів. Якщо використовувати символи 0—7, блоками є такі четвірки:^[5]

0123  0124  0156  0257  0345  0367  0467  1267  1346  1357  1457  2347  2356  2456.

Єдина (7,3,1)-схема має 7 блоків, у яких кожен елемент повторено 3 рази. Якщо використовувати символи 0—6, блоками є такі трійки:^[5]

013  026  045  124  156  235  346. Якщо елементи розглядаються як точки на площині Фано, ці блоки є прямими.

Симетричні BIBD

Випадок рівності в нерівності Фішера, тобто 2-схему з однаковою кількістю точок у блоках, називають симетричною схемою^[6] . Симетричні схеми мають найменшу кількість блоків серед усіх 2-схем з тим самим числом точок.

У симетричній схемі виконується r = k, як і b = v, і, хоча це неправильно для довільних 2-схем, в симетричних схемах будь-які два різних блоки мають спільними λ точок^[7]. Теорема Райзера^[en] дає зворотний висновок: якщо X є множиною з v елементів, а B — набором з v k-елементних підмножин («блоків»), таких, що будь-які два різних блоки мають рівно λ спільних точок, то (X, B) є симетричною блок-схемою^[8].

Параметри симетричної схеми задовольняють рівності

${\displaystyle \lambda (v-1)=k(k-1).}$

Рівність накладає сильне обмеження на v, так що число точок далеке від довільного. Теорема Брука — Райзера — Човли дає необхідну, але не достатню умову існування симетричних схем у термінах їх параметрів.

Нижче наведено важливі приклади симетричних 2-схем.

Проєктивні площини

Докладніше: Проєктивна площина

Скінченні проєктивні площини є симетричними 2-схемами з λ = 1 і порядком n > 1. Для цих схем рівність симетричної схеми перетворюється на:

${\displaystyle v-1=k(k-1).\,}$

Оскільки k = r можна записати порядок проєктивної площини як n = k − 1 і, з наведеної вище рівності, отримуємо v = (n + 1) n + 1 = n² + n + 1 точок у проєктивній площині порядку n.

Оскільки проєктивна площина є симетричною схемою, маємо b = v, що означає, що b = n ² + n + 1 також. Число b є числом прямих проєктивної площини. Не може бути повторюваних прямих, оскільки λ = 1, так що проєктивна площина є простою 2-схемою, в якій число прямих і точок завжди рівні. Для проєктивної площини k є числом точок на прямій і воно дорівнює n + 1. Аналогічно, r = n + 1 є числом прямих, з якими ця точка інцидентна.

Для n = 2 маємо проєктивну площину порядку 2, яку називають також площиною Фано, з v = 4 + 2 + 1 = 7 точками та 7 прямими. На площині Фано будь-яка пряма має рівно n + 1 = 3 точок і кожна точка належить n + 1 = 3 прямій.

Відомо, що проєктивні площини існують для всіх порядків, рівних простим числам та їх степеням. Вони утворюють єдине відоме нескінченне сімейство симетричних блок-схем^[9].

Біпланарна геометрія

Біпланарна геометрія — це симетрична 2-схема з λ = 2. Тобто будь-яка множина з двох точок міститься у двох блоках («прямих»), а будь-які дві прямі перетинаються у двох точках^[9]. Біпланарні геометрії аналогічні проєктивним площинам, крім того, що дві точки не визначають пряму (а дві прямі не визначають точку). У біпланарній геометрії дві точки визначають дві прямі (відповідно, дві прямі визначають дві точки). Біпланарна геометрія порядку n це схема, блоки якої мають k = n + 2 точок, Всього ж точок v = 1 + (n + 2) (n + 1)/2 (оскільки r = k).

18 відомих прикладів^[10]:

• (Тривіальна схема) Біпланарна геометрія порядку 0 має 2 точки (і прямі розміру 2; 2-(2,2,2)-схема); це дві точки та два блоки, які містять обидві точки. Геометрично це двокутник.
• Біпланарна геометрія порядку 1 має 4 точки (і прямі розміру 3; 2-(4,3,2)-схема); це повна схема з v = 4 та k = 3. Геометрично точки є вершинами, а блоки є гранями тетраедра.
• Біпланарна геометрія порядку 2 є доповненням площини Фано — вона містить 7 точок (і прямі розміру 4; 2-(7,4,2)); схема, де прямі задаються як доповнення (3-точкових) прямих площин Фано^[11].
• Біпланарна геометрія порядку 3 має 11 точок (і прямі розміру 5; 2-(11,5,2)); схема, відома як біпланарна геометрія Пелі за ім'ям Раймонда Пелі^[en]; схема пов'язана з графом Пелі порядку 11, який будується за допомогою поля з 11 елементами, і є 2-схемою Адамара, пов'язаною з матрицею Адамара розміру 12, див. статтю «Побудова Пелі».

Алгебрично це відповідає особливому вкладенню проєктивної спеціальної лінійної групи PSL(2,5) у PSL(2,11)^[12].

• Є три біпланарні геометрії порядку 4 (16 точок, прямі розміру 6; 2-(16,6,2)- схеми). Ці три схеми є також схемами Менона.
• Є чотири біпланарні геометрії порядку 7 (37 точок, прямі розміру 9; 2-(37,9,2)-схеми)^[13].
• Є п'ять біпланарних геометрій порядку 9 (56 точок, прямі розміру 11; 2-(56,11,2)-схеми) ^[14]
• Відомі дві біпланарні геометрії порядку 11 (79 точок, прямі розміру 13; 2-(79,13,2)-схеми) ^[15] .

2-схеми Адамара

Матриця Адамара розміру m — це m × m матриця H, елементи якої дорівнюють ±1, така, що HH^⊤ = mE_m, де H^⊤ — транспонована матриця H, а E_m — m × m одинична матриця. Матрицю Адамара можна подати в стандартній формі (тобто звести до еквівалентної матриці Адамара), у якій перший рядок і перший стовпець складаються з +1. Якщо розмір m > 2, m має ділитися на 4.

Якщо дана матриця Адамара розміру 4a в стандартній формі, видалімо перший рядок і перший стовпець і замінімо всі елементи -1 на 0. Отримаємо матрицю M, що складається з 0 і 1, яка є матрицею інцидентності симетричної 2-(4 a − 1, 2 a − 1, a − 1)-схеми. Цю схему називають 2-схемою Адамара^[16]. Схема містить ${\displaystyle 4a-1}$ блоків, кожен із яких містить ${\displaystyle 2a-1}$ точок, і ${\displaystyle 4a-1}$ точок, які містяться в ${\displaystyle 2a-1}$ блоках. Кожна пара точок міститься рівно в ${\displaystyle a-1}$ блоках.

Побудова оборотна, і матрицю інцидентності симетричної 2-схеми з цими параметрами можна використати для формування матриці Адамара розміру 4a.

Розкладні 2-схеми

Розкладна^{[уточнити]} 2-схема — це BIBD, блоки якої можна розбити на множини (звані паралельними класами), кожна з яких утворює розділ розбиття точок з BIBD. Множину паралельних класів називають розкладом^{[уточнити]} схеми.

Якщо розкладна 2-(v, k ,λ)-схема має c паралельних класів, то b ≥ v + c − 1^[17].

Отже, симетрична схема не може мати нетривіального (більше одного паралельного класу) розкладу^[18].

Архетипові розкладні 2-схеми — це скінченні проєктивні площини. Розв'язок знаменитої задачі Кіркмана про школярок є розкладом 2-(15,3,1)-схеми^[19].

Узагальнення: t -схеми

Якщо дано довільне додатне число t, t-схема B — це клас k-елементних підмножин множини X, званих блоками, таких, що будь-яка точка x з X з'являється рівно в r блоках, а будь-яка t-елементна підмножина T міститься рівно в λ блоках. Числа v (кількість елементів у X), b (кількість блоків), k, r, λ і t є параметрами схеми. Схему можна назвати t-(v,k,λ)-схемою. Знову ж, ці чотири числа визначають b і r, а самі чотири числа не можна вибрати довільно. Рівності, що їх пов'язують:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {v-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ для }}i=0,1,\ldots ,t,}$ ,

де λ_i — число блоків, які містять будь-яку i-елементну множину точок.

Зауважимо, що ${\displaystyle b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}}$ .

Теорема^[20]. Будь-яка t-(v,k,λ)-схема є також s-(v,k,λ_s)-схемою для будь-якого числа s за умови 1 ≤ s ≤ t. (Зауважимо, що "значення лямбда" змінюється, як вище зазначено, і залежить від s.)

Наслідок цієї теореми — будь-яка t-схема з t ≥ 2 є також 2-схемою.

Схему t-(v,k,1) називають системою Штейнера.

Сам термін блок-схема зазвичай застосовують до 2-схем.

Похідні та розширювані t-схеми

Нехай D = (X, B) — t-(v,k,λ)-схема, і нехай p — точка множини X. Похідна схема D_p має множину точок X − {p}, а як множину блоків — усі блоки D, які містять p і в яких точку p видалено. Ця схема є (t − 1)-(v − 1, k − 1, λ)-схемою. Зауважимо, що похідні схеми різних точок можуть бути ізоморфними. Схему E називають розширенням схеми D, якщо E має точку p, таку, що E_p ізоморфна D. D називають розширюваною, якщо схема має розширення.

Теорема^[21]. Якщо t-(v,k,λ) схема має розширення, то k + 1 ділить b(v + 1).

Розширювані проєктивні площини (симетричні 2-(n ² + n + 1, n + 1, 1)-схеми) — це тільки ті, порядки яких дорівнюють 2 і 4^[22].

Будь-яка 2-схема Адамара розширювана (до 3-схеми Адамара)^[23].

Теорема^[24]. Якщо D, симетрична 2-(v, k ,λ)-схема, розширювана, виконується одне з:

1. D є 2-схемою Адамара,
2. v = (λ + 2) (λ ² + 4λ + 2), k = λ ² + 3λ + 1,
3. v = 495, k = 39, λ = 3.

Зауважимо, що проєктивна площина порядку 2 є 2-схемою Адамара. Проективна площина порядку 4 має параметри, які підпадають під випадок 2. Інші відомі симетричні 2-схеми з параметрами з випадку 2 — біпланарні геометрії порядку 9, але жодна з них не розширювана. Симетричні 2-схеми з параметрами випадку 3 невідомі^[25].

Кругова площина

Схему з параметрами розширення афінної площини^[en], тобто 3-(n ² + 1, n + 1, 1)-схему, називають скінченною круговою площиною або площиною Мебіуса порядку n.

Можна дати геометричний опис деяких кругових площин, більш того, всіх відомих кругових площин. Овоїд^[en] у PG(3,q) є множиною з q ² + 1 точок, ніякі три з яких не колінеарні. Можна показати, що будь-яка площина (яка є гіперплощиною в розмірності 3) в PG(3, q) перетинає овоїд O або в одній або в q + 1 точках. Перетин овоїда O розміру q + 1 площиною це блоки кругової площини порядку q. Будь-яку кругову площину, отриману в такий спосіб, називають яйцеподібною. Усі відомі кругові площини яйцеподібні.

Прикладом овоїда є еліптична квадрика^[en], множина нулів квадратичної форми

x₁x₂ + f(x₃, x₄),

де f — незвідна квадратична форма від двох змінних над GF(q). (Наприклад, f(x,y)=x² + xy + y²).

Якщо q дорівнює непарному степеню 2, відомий інший тип овоїда — овоїд Сузукі — Тітса^[en].

Теорема. Нехай q — додатне ціле число, не менше 2. (a) Якщо q непарне, будь-який овоїд проєктивно еквівалентний еліптичній квадриці у проективній геометрії PG(3, q), так що q є степенем простого числа і існує єдина яйцеподібна кругова площина порядку q (невідомо при цьому, чи існують не яйцеподібні площини). (b) Якщо q парне, то q є степенем 2 і будь-яка кругова площина порядку q яйцеподібна (можливо, існують деякі невідомі овоїди).

Частково зрівноважені схеми (PBIBD)

n-Клас схеми відношення складається з множини X розміру v разом із розбиттям S множини X × X на n + 1 бінарних відношень R₀, R₁, ..., R_n. Кажуть, що пара елементів перебуває у відношенні R_i (елементи i-поєднуються^{[уточнити]}). Кожен елемент з X має n_i i-их поєднань. Крім того:

• ${\displaystyle R_{0}=\{(x,x):x\in X\}}$ і називається відношенням тотожності.
• Якщо визначити ${\displaystyle R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$, то з належності R розбиттю S, випливає належність R* розбиттю S.
• Якщо ${\displaystyle (x,y)\in R_{k}}$, кількість елементів ${\displaystyle z\in X}$, таких що ${\displaystyle (x,z)\in R_{i}}$ і ${\displaystyle (z,y)\in R_{j}}$, стале (дорівнює ${\displaystyle p_{ij}^{k}}$) і це число залежить від i, j, k, але не від вибору x та y.

Схема поєднань коммутативна, якщо ${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$ для всіх i, j і k. Більшість авторів припускають цю властивість.

Частково зрівноважена неповна блок-схема з n класами поєднань (PBIBD(n)) — це блок-схема, заснована на множині X з v елементами, що має b блоків по k елементів у кожному, в якій кожен елемент з'являється в r блоках і для якої існує схема поєднань з n класами, визначеними на X, при цьому, якщо елементи x і y i-поєднуються для 1 ≤ i ≤ n, вони містяться разом рівно в λ_i блоках.

PBIBD(n) визначає схему поєднань, але обенене хибне^[26].

Приклад

Нехай A(3) — схема поєднань з трьома класами на множині X = {1,2,3,4,5,6}. Значення елемента таблиці (i, j) дорівнює s якщо елементи i і j перебувають у відношенні R_s.

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	2	3	3
2	1	0	1	3	2	3
3	1	1	0	3	3	2
4	2	3	3	0	1	1
5	3	2	3	1	0	1
6	3	3	2	1	1	0

Блоки PBIBD(3), засновані на A (3):

124	134	235	456
125	136	236	456

Параметри цієї PBIBD(3): v = 6, b = 8, k = 3, r = 4 та λ ₁ = λ ₂ = 2 та λ ₃ = 1. Також, для схеми співвідношень маємо n ₀ = n ₂ = 1 та n ₁ = n ₃ = 2. ^[27]

Властивості

Параметри PBIBD(m) задовольняють рівностям:^[28]

1. ${\displaystyle vr=bk}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)}$
4. ${\displaystyle \sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}}$
5. ${\displaystyle n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}}$

PBIBD(1) — це BIBD, PBIBD(2), в якій λ ₁ = λ ₂ також є BIBD^[29].

PBIBD із двома класами поєднань

Схеми PBIBD(2) вивчалися найбільше через їхню простоту і корисність^[30]. Вони поділяються на шість типів^[31], якщо базуватися на проведеній Бозе та Шимамото класифікації відомих тоді схем PBIBD(2):^[32][33]

1. розбивані на групи;
2. трикутні;
3. типу «латинський квадрат»;
4. циклічні;
5. часткова геометрія;
6. інші.

Застосування

Блок-схеми в математиці виникли як статистична основа планування експерименту. Вони виявились корисними в дисперсійному аналізі (ANOVA). Застосування блок-схем у цій галузі залишається значним.

Хоча джерелом були біологічні застосування, схеми використовуються в багатьох інших галузях, де здійснюються систематичні порівняння, таких як, наприклад, тестування програмного забезпечення.

Матриця інцидентності блок-схеми дає природне джерело цікавих блокових кодів, використовуваних як коди з виправленням помилок. Рядки матриці інцидентності використовують також як символи фазово-імпульсної модуляції^[34].

Застосування в статистиці

Припустимо, що дослідники раку шкіри хочуть перевірити три різні сонцезахисні креми. Вони наносять два різні креми на верхні сторони рук піддослідних. Після опромінення ультрафіолетом записують ступінь подразнення шкіри в термінах сонячного опіку. Число способів лікування - 3 (кількість кремів), розмір блоку дорівнює 2 (кількість рук у людини).

Відповідну схему BIBD можна отримати як R-функцію design.bib пакету R-package agricolae, вона визначається такою таблицею:

Дослід	Блок	Лікування
101	1	3
102	1	2
201	2	1
202	2	3
301	3	2
302	3	1

Дослідник вибирає параметри блок-схеми v = 3, k = 2 та λ = 1, які підставляються в R-функцію. Решта параметрів (b і r) визначаються автоматично.

Використовуючи базові відношення, ми обчислюємо, що нам, щоб одержати зрівноважену неповну блок-схему, потрібно b = 3 блоків, тобто 3 піддослідних. Позначивши блоки A, B і C, отримуємо блок-схему:

A = {2, 3},   B = {1, 3} і C = {1, 2}.

Відповідну матрицю інцидентності наведено в таблиці:

Лікування	Блок A	Блок B	Блок C
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

Кожне лікування міститься у 2 блоках, так що r=2.

Тільки один блок (C) містить лікування 1 і 2 одночасно, і те ж саме для пар лікування (1,3) і (2,3). Тому λ=1.

У цьому прикладі неможливо використати повну схему (всі лікування в кожному блоці), оскільки є 3 креми і лише по 2 руки в кожного випробуваного.

Див. також

• Геометрія інцидентності
• Лінійний простір (геометрія)
• Система Штейнера

Примітки

1. Синтез комбінаторних систем за допомогою багатовимірних в’язанок | Academic Journals and Conferences. science.lpnu.ua. Процитовано 17 вересня 2022.
2. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 17−19.
3. Stinson, 2003, с. 1.
4. Доведення навів Таррі 1900 року, який показав, що не існує пари ортогональних латинських квадратів порядку 6. 2-Схема зі зазначеними параметрами еквівалентна існуванню п'яти взаємно ортогональних латинських квадратів порядку 6.
5. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 27.
6. Ці схеми називають також проєктивними схемами або квадратними схемами. Ці альтернативні назви використовувалися у спробі замінити термін «симетрична», оскільки немає нічого симетричного (у звичайному сенсі терміна) в цих схемах. Термін проєктивні використав П. Дембовські (Dembowski, 1968), за аналогією з найзагальнішим прикладом, проєктивними площинами. Термін квадратні використав П. Кемерон (Cameron, van Lint, 1991), що відбиває рівність v = b для матриці інцидентності. Жоден із термінів не поширився, як заміна, і схеми продовжують називати симетричними.
7. Stinson, 2003, с. 23, теорема 2.2.
8. Ryser, 1963, с. 102–104.
9. Hughes, Piper, 1985, с. 109.
10. Hall, 1986, с. 320-335.
11. Assmus, Key, 1992, с. 55.
12. Martin, Singerman, 2008, с. 4.
13. Salwach, Mezzaroba, 1978.
14. Kaski, Östergård, 2008.
15. Aschbacher, 1971, с. 279–281.
16. Stinson, 2003, с. 74, теорема 4.5.
17. Hughes, Piper, 1985, с. 156, теорема 5.4.
18. Hughes, Piper, 1985, с. 158, наслідок 5.5.
19. Beth, Jungnickel, Lenz, 1986, с. 40, приклад 5.8.
20. Stinson, 2003, с. 203, наслідок 9.6.
21. Hughes, Piper, 1985, с. 29.
22. Cameron, van Lint, 1991, с. 11, твердження 1.34.
23. Hughes, Piper, 1985, с. 132, теорема 4.5.
24. Cameron, van Lint, 1991, с. 11, теорема 1.35.
25. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 114, зауваження 6.35.
26. Street, Street, 1987, с. 237.
27. Street, Street, 1987.
28. Street, Street, 1987, с. 240, лема 4.
29. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 562, зауваження 42.3 (4).
30. Street, Street, 1987, с. 242.
31. Це не математична класифікація, оскільки один із типів — «інші».
32. Bose, Shimamoto, 1952.
33. Raghavarao, 1988, с. 127.
34. Noshad, Brandt-Pearce, 2012, с. 968–971.

Література

• Michael Aschbacher. On collineation groups of symmetric block designs // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1971. — Т. 11, вип. 3 (14 листопада). — С. 272–281. — DOI:10.1016/0097-3165(71)90054-9.
• E.F. Assmus, J.D. Key. Designs and Their Codes. — Cambridge : Cambridge University Press, 1992. — ISBN 0-521-41361-3.
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz. Design Theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1986. — ISBN 978-0-521-44432-3.
• R. C. Bose. A Note on Fisher's Inequality for Balanced Incomplete Block Designs // Annals of Mathematical Statistics. — 1949. — 14 листопада. — С. 619-620.
• R. C. Bose, T. Shimamoto. Classification and analysis of partially balanced incomplete block designs with two associate classes // Journal of the American Statistical Association. — 1952. — Т. 47 (14 листопада). — С. 151–184. — DOI:10.1080/01621459.1952.10501161.
• P. Cameron, J.H. van Lint. Designs, Graphs, Codes and their Links. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 22. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-41325-1.
• Charles J.Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Handbook of Combinatorial Designs. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
• R. A. Fisher. An examination of the different possible solutions of a problem in incomplete blocks // Annals of Eugenics. — 1940. — Т. 10 (14 листопада). — С. 52-75.
• Marshall Hall, Jr. Combinatorial Theory. — New York : Wiley-Interscience, 1986. — ISBN 0-471-09138-3.
• D.R. Hughes, E.C. Piper. Design theory. — Cambridge : Cambridge University Press, 1985. — ISBN 0-521-25754-9.
• Petteri Kaski, Patric Östergård. There Are Exactly Five Biplanes with k=11 // Journal of Combinatorial Designs. — 2008. — Т. 16, вип. 2 (14 листопада). — С. 117–127. — DOI:10.1002/jcd.20145.
• E. S. Lander. Symmetric Designs: An Algebraic Approach. — Cambridge : Cambridge University Press, 1983.
• C.C. Lindner, C.A. Rodger. Design Theory. — Boca Raton : CRC Press, 1997. — ISBN 0-8493-3986-3.
• Damaraju Raghavarao. Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments. — New York : Dover, 1988.
• Damaraju Raghavarao, L.V. Padgett. Block Designs: Analysis, Combinatorics and Applications. — World Scientific, 2005.
• Herbert John Ryser. Chapter 8: Combinatorial Designs // Combinatorial Mathematics (Carus Monograph #14). — Mathematical Association of America, 1963.
• Chester J. Salwach, Joseph A. Mezzaroba. The four biplanes with k=9 // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1978. — Т. 24, вип. 2 (14 листопада). — С. 141–145. — DOI:10.1016/0097-3165(78)90002-X.
• S. S. Shrikhande, Bhat-Nayak Vasanti N. Non-isomorphic solutions of some balanced incomplete block designs I // Journal of Combinatorial Theory. — 1970. — 14 листопада.
• Douglas R. Stinson. Combinatorial Designs: Constructions and Analysis. — New York : Springer, 2003. — ISBN 0-387-95487-2.
• Anne Penfold Street, Deborah J. Street. Combinatorics of Experimental Design. — Oxford U. P. [Clarendon], 1987. — С. 400+xiv. — ISBN 0-19-853256-3.
• J.H. van Lint, R.M.Wilson. A Course in Combinatorics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1992.
• Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 2008. — April 17.
• Mohammad Noshad, Maite Brandt-Pearce. Expurgated PPM Using Symmetric Balanced Incomplete Block Designs // IEEE Communications Letters. — 2012. — Т. 16, вип. 7 (Jul). — DOI:10.1109/LCOMM.2012.042512.120457.
• P. Dembowski. Finite Geometries. — Springer, 1968.

Посилання

• DesignTheory.Org — бази даних комбінаторних, статистичних та експериментальних блок-схем. Програми та інші ресурси школи математичних наук у Queen Mary College, Лондонський університет.
• Design Theory Resources — сторінка Пітера Кемерона про вебресурси з теорії схем.
• Weisstein, Eric W. Блок-схеми(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.