Дробовий броунівський рух

У теорії ймовірностей, дробовий броунівський рух, також відомий як фрактальний броунівський рух, є узагальненням броунівського руху.

На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.

Дробовий броунівський рух — це гауссівський процес з неперервним часом ${\displaystyle B_{H}(t)}$ на ${\displaystyle [0,T]}$, який починається з нуля, має нульове математичне сподівання для всіх ${\displaystyle t}$ з ${\displaystyle [0,T]}$, і має наступну коваріаційну функцію:

${\displaystyle E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),}$

де ${\displaystyle H}$ — це дійсне число з ${\displaystyle (0,1)}$, яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із ${\displaystyle B_{H}(t)}$.

Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.

Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).

Значення ${\displaystyle H}$ визначає тип дробового броунівського руху:

• якщо ${\displaystyle H=1/2}$, то процес є звичайним броунівським рухом і має незалежні прирости;

• якщо ${\displaystyle H>1/2}$, то прирости процесу мають додатню кореляцію;

• якщо ${\displaystyle H<1/2}$, то прирости процесу від'ємну кореляцію.

Процес приростів, ${\displaystyle X(t)=B_{H}(t+1)-B_{H}(t)}$, називають дробовим гаусівським шумом.

Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття Роберт Броуна; дробовий гаусівський шум названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса.

Історя та означення

До появи дробового броунівського руху Lévy, (1953) використовував дробовий інтеграл Рімана–Ліувіля^[en] для визначення процесу

${\displaystyle B_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,{\rm {d}}B(s)}$

де інтегрування відбувається відносно білого шуму^[en] ${\displaystyle dB(s)}$.

Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху (Mandelbrot та van Ness, 1968, с. 424).

Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля

${\displaystyle B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,{\rm {d}}B(s)+\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,{\rm {d}}B(s)\right\}}$

для ${\displaystyle t>0}$ (та аналогічно для ${\displaystyle t<0}$).

Властивості

Самоподібність

Процес є самоподібним, оскільки в термінах розподілу імовірностей:

${\displaystyle B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).}$

Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку ${\displaystyle 2H}$, і може розглядатися як фрактальна властивість.

Стаціонарність приростів

Процес має стаціонарні прирости:

${\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\sim B_{H}(t-s).}$

Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний гауссівський процес із нульовим середнім, що починається з нуля та має стаціонарні прирости.

Залежність на великих проміжках

Для ${\displaystyle H>1/2}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .}$

Регулярність

Траєкторії дробового броунівського руху майже напевно не диференційовні.

Тим не менш, майже всі траєкторії є локально гельдерові будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста ${\displaystyle H}$: для кожної такої траєкторії, для будь-якого ${\displaystyle T>0}$ та для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує (випадкова) константа ${\displaystyle c}$ така, що для всіх ${\displaystyle 0<s,t<T}$

${\displaystyle |B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }.}$

Траєкторії

Траєкторії дробового броунівського руху можна моделювати на комп'ютері ^[1], проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним ${\displaystyle 0.75}$ подано нижче.

${\displaystyle H=0.75}$, траєкторія 1

${\displaystyle H=0.75}$ траєкторія 2

${\displaystyle H=0.75}$ траєкторія 3

Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.

"H" = 0.15

"H" = 0.55

"H" = 0.95

Перший спосіб моделювання

Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.

Найпростіший спосіб покладається на розклад Холецького коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром ${\displaystyle n}$ має складність порядку ${\displaystyle O(n^{3})}$. Більш складним, але швидшим для обчислень є метод Dietrich та Newsam, (1997), який застосовує циркулянт.

Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ за допомогою розкладу Холецького.

• Сформуємо матрицю ${\displaystyle \Gamma ={\bigl (}R(t_{i},t_{j}),i,j=1,\ldots ,n{\bigr )}}$, де ${\displaystyle R(t,s)={\frac {1}{2}}(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})}$.

• Обчислимо ${\displaystyle \Sigma }$ --- квадратний корінь з матриці ${\displaystyle \Gamma }$, тобто ${\displaystyle \Sigma ^{2}=\Gamma }$. Грубо кажучи, ${\displaystyle \Sigma }$ — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею ${\displaystyle \Gamma }$.

• Побудуємо вектор ${\displaystyle v}$ з ${\displaystyle n}$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Якщо ми визначимо ${\displaystyle u=\Sigma v}$, то ${\displaystyle u}$ є шуканим наближенням.

Розклад Холецького потрібен для обчислення ${\displaystyle \Sigma }$. Альтернативний метод використовує власні значення матриці ${\displaystyle \Gamma }$:

• Оскільки ${\displaystyle \Gamma }$ є симетричною, невід'ємно визначеною матрицею, то всі власні значення ${\displaystyle \ ,\lambda _{i}}$ з ${\displaystyle \Gamma }$ задовільняють ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$, (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ).

• Нехай ${\displaystyle \Lambda }$ буде діагональною матрицею власних значень, тобто ${\displaystyle \Lambda _{ij}=\lambda _{i}\delta _{ij}}$, де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера. Ми визначаємо ${\displaystyle \Lambda ^{1/2}}$ як діагональну матрицю з елементами ${\displaystyle \lambda _{i}^{1/2}}$, тобто ${\displaystyle \Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}}$.

Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$.

• Нехай ${\displaystyle v_{i}}$ є власним вектором, пов’язаним із власним значенням ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Визначимо ${\displaystyle P}$ як матрицю, ${\displaystyle i}$-й стовпець якої є власним вектором ${\displaystyle v_{i}}$.

Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця ${\displaystyle P}$ є оборотною.

• З цього випливає, що ${\displaystyle \Sigma =P\Lambda ^{1/2}P^{-1}}$, оскільки ${\displaystyle \Gamma =P\Lambda P^{-1}}$.

Другий спосіб моделювання

Відомо також, що ^[2]

${\displaystyle B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,{\rm {d}}B(s)}$

де ${\displaystyle B}$ - звичайний броунівський рух і

${\displaystyle K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;{}_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}}-H;H+{\frac {1}{2}};1-{\frac {t}{s}}\right).}$

Де ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гіпергеометрична функція.

Скажімо, ми хочемо змоделювати ${\displaystyle B_{H}(t)}$ в точках ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T}$.

• Побудуємо вектор ${\displaystyle n}$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Помножимо його покомпонентно на ${\displaystyle {\sqrt {T/n}}}$, щоб отримати прирости броунівського руху на ${\displaystyle [0,T]}$. Позначимо цей вектор ${\displaystyle (\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})}$.

• Для кожного ${\displaystyle t_{j}}$ обчислимо

${\displaystyle B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},s)\,{\rm {d}}s\ \delta B_{i}.}$

Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.

Примітки

1. Kroese, D.P.; Botev, Z.I. (2014). Spatial Process Generation. Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. arXiv:1308.0399. Bibcode:2013arXiv1308.0399K.
2. Stochastic Analysis of the Fractional Brownian Motion, [1]

Див. також

• Броунівська поверхня^[en]
• Дробово інтегрована авторегресія ковзного середнього^[en]
• Мультифрактальна система
• Рожевий шум
• Розподіли Твіді^[en]

Література

• Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes, Chapman & Hall, ISBN 0-412-04901-5.
• Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
• Dieker, T. (2004). Simulation of fractional Brownian motion (PDF) (Дипломна робота). Процитовано 29 грудня 2012.
• Dietrich, C. R.; Newsam, G. N. (1997), Fast and exact simulation of stationary Gaussian processes through circulant embedding of the covariance matrix., SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (4): 1088—1107, doi:10.1137/s1064827592240555.
• Lévy, P. (1953), Random functions: General theory with special references to Laplacian random functions, University of California Publications in Statistics, т. 1, с. 331—390.
• Mandelbrot, B.; van Ness, J.W. (1968), Fractional Brownian motions, fractional noises and applications, SIAM Review, 10 (4): 422—437, Bibcode:1968SIAMR..10..422M, doi:10.1137/1010093, JSTOR 2027184.
• Orey, Steven (1970), Gaussian sample functions and the Hausdorff dimension of level crossings, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 15 (3): 249—256, doi:10.1007/BF00534922, S2CID 121253646.
• Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059. DOI:10.1109/78.917808
• Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).

Додаткова література

• Sainty, P. (1992), Construction of a complex‐valued fractional Brownian motion of order N, Journal of Mathematical Physics, 33 (9): 3128, Bibcode:1992JMP....33.3128S, doi:10.1063/1.529976.