Наближення випадкових фаз

Наближення випадкових фаз (англійське скорочення RPA — random phase approximation) — наближений теоретичний метод у терії конденсованих середовищ та ядерній фізиці. Його запропонували в низці важливих робіт^[1][2][3] 1952—1953 років Девід Бом та Девід Пайнз. Метод дозволяє врахувати екрановану взаємодію між електронами і, розрахувавши діелектричну функцію, пояснити з квантової точки зору низку твердотільних явищ, зокрема, плазмони.

У наближенні випадкових фаз вважається, що електрони відчувають повний потенціал електричного поля V(r), що є сумою зовнішнього збурення V_ext(r) та потенціалу екрануваної взаємодії з іншими електронами V_sc(r). Вважається, що збурення осцилює з частотою ω, тож модель дає самоузгоджену^[4] і динамічну діелектричну функцію ε_RPA(k, ω).

Робиться припущення, що внесок у діелектричну функцію від повного потенціалу усереднюється до нуля, окрім складової з хвильовим вектором k. Від цього припущення походить назва методу, фази розсіяних різними електронами хвиль випадкові, а тому в середньому компенсують одна одну. Отриману діелектричну функцію називають діелектричною функцією Ліндгарда^[5][6]. Вона правильно відтворює багато властивостей електронного газу^[7].

В кінці 1950-х RPA зазнало критики через надто велике число ступенів вільності. Ця критика призвела до інтенсивних пошуків обґрунтування. У ключовій статті Маррі Гелл-Манна та Кіта Брюкнера було показано, що RPA можна вивести з підсумовування провідних членів ланцюжка діаграм Фейнмана в електронному газі високої густини^[8].

Узгодженість результатів стала важливим обґрунтуванням та мотивувала значний ріст інтересу до теоретичної фізики в кінці 1950-х та в 1960-х роках.

Застосування: Основний стан системи бозонів із взаємодією

Основний стан наближення випадкових фаз ${\displaystyle \left|\mathbf {RPA} \right\rangle }$ системи бозонів можна виразити через основні бозонні стани без врахування кореляцій ${\displaystyle \left|\mathbf {MFT} \right\rangle }$ та вихідні бозонні збудження ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left\langle \mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$

де Z — симетрична матриця з ${\displaystyle |Z|\leq 1}$, а

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}$

Нормування можна обрахувати як

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}$

де ${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$ — сингулярний розклад матриці ${\displaystyle Z_{ij}}$.

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}$

Зв'язок між новими та старими збудженнями задається формулою

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}$.

Виноски

1. D. Bohm and D. Pines: A Collective Description of Electron Interactions. I. Magnetic Interactions, Phys. Rev. 82, 625–634 (1951) (abstract)
2. D. Pines and D. Bohm: A Collective Description of Electron Interactions: II. Collective vs Individual Particle Aspects of the Interactions, Phys. Rev. 85, 338–353 (1952) (abstract)
3. D. Bohm and D. Pines: A Collective Description of Electron Interactions: III. Coulomb Interactions in a Degenerate Electron Gas, Phys. Rev. 92, 609–625 (1953) (abstract)
4. H. Ehrenreich and M. H. Cohen, Phys. Rev. 115, 786 (1959)
5. J. Lindhard, K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 28, 8 (1954)
6. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)
7. G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 2nd ed. (Plenum Press, New York, 1990)
8. M. Gell-Mann, K.A. Brueckner, Correlation energy of an electron gas at high density, Phys. Rev. 106, 364 (1957)