Сильне псевдопросте число

Ймовірно просте число — це число, яке проходить тест простоти. Сильне ймовірно просте число — це число, яке проходить сильну версію тесту простоти. Сильне псевдопросте число — це складене число, яке проходить сильну версію тесту простоти.

Усі прості числа проходять цей тест, але незначна частка складених чисел також цей тест проходить, що робить їх «хибно простими».

На відміну від псевдопростих чисел Ферма, для яких існують числа, псевдопрості за всіма взаємно простими основами (числа Кармайкла), не існує складених чисел, сильних псевдопростих за всіма основами.

Формальне визначення

Формально, непарне складене число n = d • 2^s + 1 з непарним d називається сильним псевдопростим числом (Ферма) за основою a, якщо виконується одна з умов:

${\displaystyle a^{d}\equiv 1\mod n}$

або

${\displaystyle a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1\mod n}$ для деякого ${\displaystyle 0\leq r<s.}$

(Якщо число n задовольняє вищенаведеним умовам і ми не знаємо, чи просте воно чи ні, точніше називати його сильним ймовірно простим за основою a. Якщо ж ми знаємо, що n не просте, можна використовувати термін сильне псевдопросте число.)

Визначення тривіально виконується, якщо a ≡ ±1 mod n, так що ці тривіальні випадки часто виключаються.

Річард Ґай помилково дав визначення тільки з першою умовою, але йому не задовольняють усі прості числа^[1].

Властивості сильних псевдопростих чисел

Сильне псевдопросте число за основою a завжди є псевдопростим Ейлера — Якобі^[en], псевдопростим Ейлера^[en][2] і псевдопростим Ферма за цією основою, але не всі псевдопрості Ейлера і Ферма є сильними псевдопростими. Числа Кармайкла можуть бути сильними псевдопростими за деякими основами, наприклад, 561 є сильними псевдопростим за основою 50, але не за всіма основами.

Складене число n є сильним псевдопростим за максимум чвертю всіх основ, менших від n^[3][4]. Таким чином, немає «сильних чисел Кармайкла», чисел, які є сильними псевдопростими для всіх основ. Отже, якщо задано випадкову основу, ймовірність, що число буде сильним псевдопростим за цією основою, не перевищує 1/4, що використовується в поширеному тесті Міллера — Рабіна. Проте, Арно^[5] навів 397-значне складене число, яке є сильним псевдопростим за будь-якою основою, меншою від 307. Одним зі способів уберегтися від оголошення таких чисел ймовірно простими полягає в комбінуванні тесту на сильне можливо просте число з тестом на псевдопросте число Люка, як у тесті Бейлі — Померанса — Селфриджа — Вогстаффа.

Існує нескінченно багато сильних псевдопростих за будь-якою конкретною основою^[2].

Приклади

Перші сильні псевдопрості за основою 2

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, … (послідовність A001262 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 3

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, … (послідовність A020229 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 5

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, … (послідовність A020231 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

За основою 4 див.  A020230, а за основами від 6 до 100 див. послідовності від  A020232 до  A020326.

Якщо перевіряти наведені вище умови за кількома основами, отримуємо більш потужний тест на простоту, ніж за використання тесту за однією основою. Наприклад, існує тільки 13 чисел, менших від 25·10⁹, які є сильними псевдопростими за основами 2, 3 і 5 одночасно. Їх перераховано в таблиці 7 у статті Померанца і Селфриджа^[2]. Найменше таке число — 25326001. Це означає, що при n меншому від 25326001, якщо n є сильним ймовірно простим числом за основами 2, 3 і 5, число n є простим.

Число 3825123056546413051 є найменшим числом, що одночасно є сильним псевдопростим за 9 основами 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і 23^[6]. Так що при n меншому від 3825123056546413051, якщо n є сильним ймовірно простим за цими 9 основами, то n є простим.

За обережного вибору основи, що не є простою, можна побудувати навіть кращі тести. Наприклад, не існує складених чисел ${\displaystyle <2^{64}}$, сильних псевдопростих за всіма сімама основами 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 і 1795265022^[7].

Найменше сильне псевдопросте за основою n

n	Найменше	n	Найменше	n	Найменше	n	Найменше
1	9	33	545	65	33	97	49
2	2047	34	33	66	65	98	9
3	121	35	9	67	33	99	25
4	341	36	35	68	25	100	9
5	781	37	9	69	35	101	25
6	217	38	39	70	69	102	133
7	25	39	133	71	9	103	51
8	9	40	39	72	85	104	15
9	91	41	21	73	9	105	451
10	9	42	451	74	15	106	15
11	133	43	21	75	91	107	9
12	91	44	9	76	15	108	91
13	85	45	481	77	39	109	9
14	15	46	9	78	77	110	111
15	1687	47	65	79	39	111	55
16	15	48	49	80	9	112	65
17	9	49	25	81	91	113	57
18	25	50	49	82	9	114	115
19	9	51	25	83	21	115	57
20	21	52	51	84	85	116	9
21	221	53	9	85	21	117	49
22	21	54	55	86	85	118	9
23	169	55	9	87	247	119	15
24	25	56	55	88	87	120	91
25	217	57	25	89	9	121	15
26	9	58	57	90	91	122	65
27	121	59	15	91	9	123	85
28	9	60	481	92	91	124	25
29	15	61	15	93	25	125	9
30	49	62	9	94	93	126	25
31	15	63	529	95	1891	127	9
32	25	64	9	96	95	128	49

Примітки

1. Guy, 1994, с. 27-30.
2. Pomerance, Selfridge, Wagstaff, 1980, с. 1003–1026.
3. Monier, 1980, с. 97-108.
4. Rabin, 1980, с. 128-138.
5. Arnault, 1995, с. 151–161.
6. Zhang, Tang, 2003, с. 2085–2097.
7. SPRP Records. Процитовано 3 червня 2015.

Література

• Richard K. Guy. §A12 in Unsolved Problems in Number Theory // Pseudoprimes. Euler Pseudoprimes. Strong Pseudoprimes. — 2nd. — New York : Springer-Verlag, 1994.
• Carl Pomerance, John L. Selfridge, Samuel S. Wagstaff, Jr. The pseudoprimes to 25•10⁹ // Mathematics of Computation. — 1980. — Т. 35, вип. 151 (7). — DOI:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7.
• Louis Monier. Evaluation and Comparison of Two Efficient Probabilistic Primality Testing Algorithms // Theoretical Computer Science. — 1980. — Т. 12 (1 грудня). — DOI:10.1016/0304-3975(80)90007-9.
• Michael O. Rabin. Probabilistic Algorithm for Testing Primality // Journal of Number Theory. — 1980. — Вип. 12 (1 грудня).
• F. Arnault. Constructing Carmichael Numbers Which Are Strong Pseudoprimes to Several Bases // Journal of Symbolic Computation. — 1995. — Т. 20, вип. 2 (8). — DOI:10.1006/jsco.1995.1042.
• Zhenxiang Zhang, Min Tang.  // Mathematics of Computation. — 2003. — Т. 72, вип. 244 (1 грудня). — DOI:10.1090/S0025-5718-03-01545-X.