Тау-число

Тау-число (${\displaystyle \tau }$ -число, англ. refactorable number) — це таке ціле число ${\displaystyle n}$, яке ділиться на число своїх дільників, або, з точки зору алгебри, таке ${\displaystyle n}$, що ${\displaystyle \tau (n)|n}$.

Перші кілька тау-чисел^[1]:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Наприклад, тау-число 18, яке має шість дільників (1 і 18, 2 і 9, 3 і 6) і ділиться на 6.

Асимптотична щільність тау-чисел — нуль. Відомо, що жодні три послідовні цілі числа не можуть бути тау-числами.^[2] Крім того, Колтон довів, що жодне тау-число не є досконалим. Рівняння ${\displaystyle (n,x)=\tau (n)}$ (де ${\displaystyle (n,x)}$ — найбільший спільний дільник ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle x}$) має корінь тільки, якщо ${\displaystyle n}$ — тау-число.

Залишається розглянути кілька питань щодо тау-чисел:

• чи існують як завгодно великі ${\displaystyle n}$, для яких і ${\displaystyle n}$, і ${\displaystyle n+1}$ є тау-числами
• якщо існує тау-число ${\displaystyle n_{0}\equiv a{\pmod {m}}}$, чи випливає з цього, що існує ${\displaystyle n>n_{0}}$, таке що ${\displaystyle n}$ є тау-числом і ${\displaystyle n\equiv a{\pmod {m}}}$.

Кертіс Купер^[en] і Роберт Кеннеді в 1990 році вперше виділили тау-числа.^[3] Вони встановили, що тау-числа мають нульову асимптотичну щільність. Пізніше Саймон Колтон за допомогою програми, яку він написав для відкриття і перевірки різних визначень в теорії чисел і теорії графів^[4], підтвердив їх відкриття. Але Колтон назвав ці числа англ. refactorable. Це вперше, коли програма знайшла нову або раніше непомічену ідею. Колтон довів багато відомостей про тау-числа, показавши нескінченність їх ряду і кілька умов їх розподілу.

Примітки

1. послідовність A033950 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
2. J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
3. Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990
4. S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention [Архівовано 27 липня 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2