P-адичний аналіз

$p$ -Адичний аналіз — розділ теорії чисел, який займається математичним аналізом функцій $p$ -адичних чисел.

Теорія комплекснозначних числових функцій на $p$ -адичних числах є частиною теорії локально компактних груп. Зазвичай під $p$ -адичним аналізом розуміють теорію $p$ -адичнозначних функцій на цікавих просторах.

Застосовують $p$ -адичний аналіз переважно в теорії чисел, де він відіграє значну роль у діофантовій геометрії та діофантовій апроксимації. Деякі застосування вимагали розробки $p$ -адичного функціонального аналізу та спектральної теорії. Багато в чому $p$ -адичний аналіз є менш витонченим, ніж класичний аналіз, оскільки ультраметрична нерівність означає, наприклад, що збіжність нескінченних рядів $p$ -адичних чисел значно простіша. Топологічні векторні простори над $p$ -адичними полями демонструють відмінні риси; наприклад, аспекти, що стосуються опуклості та теореми Гана — Банаха, відрізняються.

Важливі результати

Теорема Островського

Теорема Островського, яку сформулював Олександр Островський (1916), стверджує, що кожне нетривіальне абсолютне значення раціональних чисел Q еквівалентне або звичайному дійсному абсолютному значенню, або $p$ -адичному абсолютному значенню.^[1]

Теорема Малера

Теорема Малера, яку сформулював Курт Малер^[2], виражає неперервні $p$ -адичні функції через многочлени.

У будь-якому полі характеристики 0 можна отримати такий результат. Нехай

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

- це оператор прямої різниці. Тоді для поліноміальних функцій f маємо ряд Ньютона:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

де

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

є k-м поліномом біноміального коефіцієнта.

Над полем дійсних чисел припущення про те, що функція f є многочленом, можна послабити, але його не можна послабити аж до простої неперервності.

Малер довів такий результат:

Теорема Малера: якщо f — неперервна $p$ -адична функція на $p$ -адичних цілих числах, то виконується та сама тотожність.

Лема Гензеля

Лема Гензеля, також відома як лема Гензеля про підняття, названа на честь Курта Гензеля, є результатом модульної арифметики, який стверджує, що, якщо поліноміальне рівняння має простий корінь за модулем простого числа $p$ , то цей корінь відповідає унікальному кореню того самого рівняння за модулем будь-якого більшого степеня $p$ , який можна знайти ітераційним «підняттям»^[en] розв'язку за модулем послідовних степенів $p$ . Загальніше, його використовують як загальну назву для аналогів для повних комутативних кілець (зокрема, $p$ -адичних полів) методу Ньютона для розв'язування рівнянь. Оскільки $p$ -адичний аналіз певною мірою простіший від дійсночисельного аналізу, існують відносно прості критерії, що гарантують корінь многочлена.

Для формулювання результату, нехай $f(x)$ — многочлен із цілими (або $p$ -адичними цілими) коефіцієнтами, і нехай m, k — натуральні числа, такі що m ≤ k. Якщо r таке ціле число, що

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

і

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

то існує таке ціле s, що

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

і

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Крім того, це s є унікальним за модулем p^{k +m} і може бути обчислене явно як

s=r+tp^{k}

де

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

Застосування

$p$ -Адична квантова механіка

$p$ -Адична квантова механіка — це відносно новий підхід до розуміння природи фундаментальної фізики. Це застосування $p$ -адичного аналізу до квантової механіки. Існують сотні наукових статей із цієї теми^[3]^[4], зокрема й у міжнародних журналах.

Є два основних підходи до предмету.^[5]^[6] Перший розглядає частинки в $p$ -адичній потенціальній ямі, і метою є пошук розв'язків із плавно змінними комплекснозначними хвильовими функціями. Тут розв'язки достатньо наочні. Другий розглядає частинки в $p$ -адичних потенціальних ямах, і мета полягає в тому, щоб знайти $p$ -адичнозначні хвильові функції. У цьому випадку фізична інтерпретація складніша.^[7]

Локально–глобальний принцип

Локально-глобальний принцип Гельмута Гассе, також відомий як принцип Гассе, полягає в тому, що можна знайти цілочисельний розв'язок рівняння, використовуючи китайську теорему про остачі, щоб об'єднати розв'язки за модулем степенів кожного відмінного простого числа. Для цього досліджується рівняння в поповненнях раціональних чисел: дійсних числах і $p$ -адичних числах. Формальніша версія принципу Гассе стверджує, що певні типи рівнянь мають раціональний розв'язок тоді й лише тоді, коли вони мають розв'язок у дійсних числах і в $p$ -адичних числах для кожного простого $p$ .

Див. також

Примітки

↑ Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. с. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Процитовано 24 August 2012. Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $| |$ _p for some prime $p$ or for $p = \infty$ . }}
↑ Mahler, K. (1958), An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1958 (199): 23—34, doi:10.1515/crll.1958.199.23, ISSN 0075-4102, MR 0095821
↑ V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov P-adic Analysis and Mathematical Physics, (World Scientific, Singapore 1994)
↑ L. Brekke and P. G. O. Freund, P-adic numbers in physics, Phys. Rep. 233, 1-66(1993)
↑ Dragovich, Branko. Adeles in Mathematical Physics. arXiv:0707.3876 [math-ph].
↑ Djordjević, G. S.; Dragovich, B. (2000). P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency. Theoretical and Mathematical Physics. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph/0005027. Bibcode:2000TMP...124.1059D. doi:10.1007/BF02551077.
↑ Freund, Peter G. O. (2006). P-Adic Strings and Their Applications. AIP Conference Proceedings. Т. 826. с. 65—73. arXiv:hep-th/0510192. doi:10.1063/1.2193111.

Література

Koblitz, Neal (1980). p-adic analysis: a short course on recent work. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011.
Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). Complexity of Deciding Solvability of Polynomial Equations over p-adic Integers. Univ. Of Bonn CS Reports 85183.
Karpinski, Marek; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). Zero testing of p-adic and modular polynomials. Theoretical Computer Science. 233 (1–2): 309—317. doi:10.1016/S0304-3975(99)00133-4. (preprint)
A course in p-adic analysis, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
P-adic Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5

[1] Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. с. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Процитовано 24 August 2012. Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $| |$ _p for some prime $p$ or for $p = \infty$ . }}

[2] Mahler, K. (1958), An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1958 (199): 23—34, doi:10.1515/crll.1958.199.23, ISSN 0075-4102, MR 0095821

[integral-3] V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov P-adic Analysis and Mathematical Physics, (World Scientific, Singapore 1994)

[r-4] L. Brekke and P. G. O. Freund, P-adic numbers in physics, Phys. Rep. 233, 1-66(1993)

[repeat-5] Dragovich, Branko. Adeles in Mathematical Physics. arXiv:0707.3876 [math-ph].

[6] Djordjević, G. S.; Dragovich, B. (2000). P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency. Theoretical and Mathematical Physics. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph/0005027. Bibcode:2000TMP...124.1059D. doi:10.1007/BF02551077.

[freund-7] Freund, Peter G. O. (2006). P-Adic Strings and Their Applications. AIP Conference Proceedings. Т. 826. с. 65—73. arXiv:hep-th/0510192. doi:10.1063/1.2193111.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

п о р Основні теми математичного аналізу
Числення Диференціювання Інтегрування Основна теорема аналізу Диференціальні рівняння звичайне частинне стохастичне Варіаційне числення Векторне числення Тензорний аналіз Числення матриць(інші мови) Таблиця похідних Таблиця інтегралів
Дійсний аналіз Комплексний аналіз Гіперкомплексний аналіз (кватерніонний аналіз(інші мови)) Функційний аналіз Гармонічний аналіз Аналіз Фур'є LSSA(інші мови) p-адичний аналіз (p-адичне число) Теорія міри Теорія представлень Функції Неперервна функція Спеціальні функції Границя Послідовність Ряд Нескінченність
Категорія Портал

п о р Статті з математики, пов'язані з числами
Зліченні множини	Натуральні числа (ℕ) Цілі числа (ℤ) Раціональні числа (ℚ) Конструктивні числа Алгебричні числа (𝔸) Кільце періодів^[en] Обчислювані числа^[en] Гауссові числа
Алгебра з діленням	Дійсні числа (ℝ) Комплексні числа (ℂ) Кватерніони (ℍ) Октоніони (𝕆)
Спліт- композиційні алгебри	над ℝ: Спліт-комплексні числа Спліт-кватерніони Спліт-октоніони над ℂ: Бікомплексні числа Бікватерніони Біоктоніони^[en]
Інші гіперкомплексні числа	Дуальні числа Гіперболічні кватерніони Седеніони (𝕊) Гіперкомплексні числа (2-вимірні, 4-вимірні)
Інші	Кардинальні числа Ірраціональні числа Міра ірраціональності Гіпердійсні числа Сюрреальні числа Трансцендентні числа теорія Ординальні числа p-адичний аналіз p-адичні числа Супердійсні числа Номінальні числа Послідовності натуральних чисел Математичні константи Великі числа Назви малих чисел Нескінченність