Індекс Коші

Індекс Коші — в математичному аналізі це ціле число асоційоване з раціональною функцією на проміжку з її області визначення.

Використовується зокрема в теоремі Рауса — Гурвіца, яка знаходить кількість коренів в лівій і правій половинах комплексної площини.

Означення

• Індекс Коші початково був означений Коші в 1837 для полюса s раціональної функції r використовуючи односторонні границі як:

${\displaystyle I_{s}r={\begin{cases}+1,&\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=-\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=+\infty ,\\-1,&\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=+\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=-\infty ,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• Узагальнення для відрізку [a,b] досить просте (якщо ні a ні b не є полюсами r(x)): це сума індексів Коші ${\displaystyle I_{s}}$ для r для кожного полюса s на відрізку. Позначається ${\displaystyle I_{a}^{b}r}$.
• Можна узагальнити для проміжків виду ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ оскільки кількість полюсів r є скінченною (обчислюючи границю індексу Коші для [a,b] при прямуванні a та b до нескінченності).

Приклад

Деяка раціональна функція

• Розглянемо раціональну функцію:

${\displaystyle r(x)={\frac {4x^{3}-3x}{16x^{5}-20x^{3}+5x}}={\frac {p(x)}{q(x)}}.}$

Де p(x) та q(x) відповідно поліноми Чебишова степенів 3 та 5. Тоді, r(x) має полюси ${\displaystyle x_{1}=0.9511,x_{2}=0.5878,x_{3}=0,x_{4}=-0.5878}$ та ${\displaystyle x_{5}=-0.9511}$, тобто ${\displaystyle x_{j}=\cos((2i-1)\pi /2n)}$ для ${\displaystyle j=1,...,5}$.

З графіку функції бачимо, що ${\displaystyle I_{x_{1}}r=I_{x_{2}}r=1}$ та ${\displaystyle I_{x_{4}}r=I_{x_{5}}r=-1}$. Для полюсу в нулі, маємо ${\displaystyle I_{x_{3}}r=0}$ оскільки ліва і права границі рівні (оскільки p(x) теж має нульовий корінь). Отже ${\displaystyle I_{-1}^{1}r=0=I_{-\infty }^{+\infty }r}$ оскільки q(x) має лише 5 коренів, і усі в [−1,1].

Ми не можемо використати тут теорему Рауса-Гурвіца, оскільки комплексний многочлен f(iy) = q(y) + ip(y) має корені на уявній осі (в початку координат).

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)