Алгебра вершинних операторів

Алгебри вершинних операторів вперше були введені Річардом Борхердсом в 1986 році. Мають важливе значення для теорії струн, конформній теорії поля і для суміжних областей фізики. Аксіоми алгебри вершинних операторів — це формальна алгебрична інтерпретація того, що фізики називають хіральною алгеброю.

Алгебри вершинних операторів виявилися корисними в чисто математичних напрямах, таких як геометрична відповідність Ленглендса.

Приклади

• Ґратка Z в R дає супералгебру вершинних операторів, що відповідає одному комплексному фермиону. Це ще один спосіб формулювання бозона-ферміонної відповідності. Ферміонне поле ψ(z) і його спряжене поле ψ^†(z) визначаються виразом:

${\displaystyle \psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\,\,\,\psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{n},\,\,\,\{e_{n},e_{m}\}=0,\,\,\,\{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I.}$

Відповідність між ферміонами і одним зарядженим бозонним полем

${\displaystyle \phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\,\,\,[a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I,\,\,Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I}$

набуває вигляду

${\displaystyle \phi (z)=\,:\,\psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\,:}$

${\displaystyle \psi (z)=U\,:\,\exp \,\int \phi (z)\,:}$

де нормальні експоненти інтерпретується як вершинні оператори.

• Ґратка √2 Z in R дає алгебру вершинних операторів, відповідну аффінній алгебрі Каца — Муді для SU(2) на першому рівні. Вона реалізується полями

${\displaystyle H(z)=\phi (z)\otimes I-I\otimes \phi (z)}$

${\displaystyle E(z)=\psi (z)\otimes \psi ^{\dagger }(z)}$

${\displaystyle F(z)=\psi ^{\dagger }(z)\otimes \psi (z)}$

Посилання

• Borcherds, Richard (1986), Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 83: 3068—3071, Bibcode:1986PNAS...83.3068B, doi:10.1073/pnas.83.10.3068, PMC 323452, PMID 16593694
• Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988), Vertex operator algebras and the Monster, Pure and Applied Mathematics, т. 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5
• Kac, Victor (1998), Vertex algebras for beginners, University Lecture Series, т. 10 (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1396-X
• Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001), Vertex algebras and Algebraic Curves, Mathematical Surveys and Monographs, № 88, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0
• Wang, Weiqiang (1993), Rationality of Virasoro vertex operator algebras, Duke Math. J. IMRN, 71: 197—211
• Xu, Xiaoping (1998), Introduction to vertex operator superalgebras and their modules, Springer, ISBN 0792352424