Александровська геометрія — своєрідний розвиток аксіоматичного підходу в сучасній геометрії. Ідея полягає в заміні певної рівності в аксіоматиці евклідового простору на нерівність.
Перше синтетичне визначення обмежень на кривину знизу і зверху дав Абрахам Вальд у своїй студентській роботі, написаній під керівництвом Карла Менгера[ru].[1] Ця робота була забута аж до 1980-их років.
Подібні визначення були перевідкриті Олександром Даниловичем Александровим.[2][3] Він також дав перші значні застосування цієї теорії, зокрема до завдань вкладення і згинання поверхонь.
Близьке визначення метричних просторів недодатною кривиною було дане майже одночасно Буземаном[ru].[4]
Дослідження Александрова та його учнів велись за двома основним напрямками:
Простори довільної розмірності з кривиною, обмеженою знизу, почали вивчати тільки в кінці 90-х років. Поштовхом до цих досліджень стала теорема Громова про компактність. Основна робота була написана Юрієм Дмитровичем Бураго[ru], Михайлом Леонідовичем Громовим і Григорієм Яковичем Перельманом.[5]
Трикутник порівняння для трійки точок метричного простору це трикутник на евклідовій площині з тими ж довжинами сторін; тобто
Кут при вершині у трикутнику порівняння називаються кутом порівняння трійки і позначаються .
В геометрії Александрова розглядаються повні метричні простори з внутрішньої метрикою з однією з двох таких нерівностей на 6 відстаней між 4 довільними точками.
Перша нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок розглянемо кілька трикутників порівняння і . Тоді для довільної точки виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності. У разі локального виконання цієї нерівності, кажуть, що простір має недодатну кривину в сенсі Александрова.
Друга нерівність, полягає в такому: для довільних 4 точок виконується нерівність
У цьому випадку кажуть, що простір задовольняє -нерівності або кажуть, що простір має невід'ємну кривину в сенсі Александрова.
Замість Евклідової площини можна взяти простір — модельну площину кривини . Тобто
Тоді вищенаведені визначення перетворюються на визначення CAT[k] і CBB[k] просторів та просторів з кривиною і у сенсі Александрова У разі , трикутник порівняння трійки вважається визначеним, якщо виконана така нерівність