Альтернатива Тітса

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума^[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь Жака Тітса^[en].

Формулювання

Нехай ${\displaystyle G}$ скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для ${\displaystyle G}$ виконується рівно одне з таких тверджень

• Або ${\displaystyle G}$ майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу.
• Або ${\displaystyle G}$ містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Наслідки

• Лінійна група не аменабельна, тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу.
  • Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп.
• Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.

Варіації та узагальнення

Кажуть, що група ${\displaystyle G}$ задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа ${\displaystyle H<G}$ майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що ${\displaystyle H}$ скінченно породжена.

Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:

• Гіперболічні групи
• Група класів перетворень поверхні^[1][2]
• ${\displaystyle Out(F_{n})}$^[en][3]

Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:

• Група Григорчука ;
• Група F Томпсона .

Про доведення

У доведенні розглядають замикання ${\displaystyle {\bar {G}}}$ групи ${\displaystyle G}$ у топології Зариського. Якщо ${\displaystyle {\bar {G}}}$ розв'язна, то й група ${\displaystyle G}$ розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу ${\displaystyle G}$ в компоненті Леві ${\displaystyle {\bar {G}}}$. Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі ${\displaystyle G}$ є коренями одиниці, отже, образ ${\displaystyle G}$ скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.

Примітки

1. Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275 (10 November). — P. 786—789.
2. McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291 (10 November). — P. 583—612. — DOI:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2 (10 November). — P. 517—623. — arXiv:math/9712217. — DOI:10.2307/121043.

Посилання

• Tits, J. Free subgroups in linear groups // Journal of Algebra^[en]. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.