Аналітична множина

Аналіти́чна множина — це множина спільних нулів скінченної сім'ї аналітичних функцій.

Загальний опис

Для області ${\displaystyle B\subset \mathbb {C} ^{m}}$ розглянемо пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{B}}$ голоморфних функцій. Множина спільних нулів ${\displaystyle A=\{z\in B\mid f_{1}(z)=\dots =f_{q}(z)=0\}}$ сім'ї функцій ${\displaystyle (f_{i})}$, голоморфних на ${\displaystyle B}$, називається аналітичною множиною. Вона може бути оснащена пучком ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}}_{A})|_{A}}$, де ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$ - когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною ${\displaystyle V\subset B}$ пов'язує ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}(V)=\{f\in {\mathcal {O}}_{B}(V)\mid f(A\cap V)=0\}}$.

Когерентні пучки модулів

Пучок модулів ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ над пучком комутативних кілець ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ називається когерентним, якщо (a) ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ - скінченного типу (локально існують епіморфізми ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{p}\to {\mathcal {M}}}$, ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$); (b) для довільної відкритої підмножини ${\displaystyle U\subset X}$ ядро довільного морфізма ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{q}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ має скінченний тип. Сам пучок ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ називається когерентним, якщо він когерентний як пучок модулів над собою. З довільним когерентним пучком ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{B}}$ пов'язується аналітична множина ${\displaystyle A=\{z\in B\mid \forall }$ околу ${\displaystyle V\ni z\;\forall f\in {\mathcal {I}}(V)\;f(z)=0\}}$, оснащена когерентним пучком ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебр ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{B}/{\mathcal {I}})|_{A}}$. Маємо ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}}_{A}=\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}}$, де радикал пучка ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ визначається як пучок ідеалів ${\displaystyle \mathrm {rad} \,{\mathcal {I}}}$, стебло якого над ${\displaystyle x\in B}$ - це ${\displaystyle (\mathrm {rad} \,{\mathcal {I}})_{x}=\mathrm {rad} ({\mathcal {I}}_{x})=\{f\in {\mathcal {O}}_{x}\mid \exists \,n\in \mathbb {N} \;f^{n}\in {\mathcal {I}}_{x}\}}$.

Література

• Портал «Математика»

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.