Арифметичне число

Демонстрація на паличках Кюїзенера арифметичної природи числа 6

У теорії чисел арифметичне число — це ціле, для якого середнє його додатніх дільників також є цілим числом. Наприклад, 6 є арифметичним числом, оскільки середнє його дільників дорівнює

${\displaystyle {\frac {1+2+3+6}{4}}=3,}$

яке також є цілим числом. Однак 2 не є арифметичним числом, оскільки його єдиними дільниками є 1 і 2, а їх середнє 3/2 не є цілим числом.

Перші числа в послідовності арифметичних чисел є

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, … послідовність A003601 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Щільність

Відомо, що асимптотична щільність таких чисел дорівнює 1:^[1] справді, частка чисел, менших за X, які не є арифметичними, є асимптотично^[2]

${\displaystyle \exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\right)}$

де c = 2√log 2 + o(1).

Число N є арифметичним, якщо кількість дільників d(N) ділить суму дільників σ( N). Відомо, що щільність цілих чисел N, що підкоряються більш строгій умові, що d(N)² ділить σ( N) дорівнює 1/2.^[1][2]

Примітки

1. Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (вид. 3rd). Springer-Verlag. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. p.76
2. Bateman, Paul T.; Erdős, Paul; Pomerance, Carl; Straus, E.G. (1981). The arithmetic mean of the divisors of an integer. У Knopp, M.I. (ред.). Analytic number theory, Proc. Conf., Temple Univ., 1980 (PDF). Lecture Notes in Mathematics. Т. 899. Springer-Verlag. с. 197—220. Zbl 0478.10027. Архів оригіналу (PDF) за 8 березня 2022. Процитовано 28 березня 2022.