Великий вивернутий оберненокирпатий ікосододекаедр

Великий вивернутий оберненокирпатий ікосододекаедр U74, K79, C90
Тип	однорідний зірчастий многогранник
Граней	98
Ребер	150
Вершин	60
χ	2
Символ Витофа	|^3/2 ^5/3 2
Символ Шлефлі	s{3/2,5/3}
Група симетрії	I, [5,3]^+, 532
Дуальний многогранник	великий пентаграмний шістдесятигранник^[en]
Вершинна діаграма

Вели́кий (ви́вернутий) оберненокирпа́тий ікосододекае́др — це неопуклий однорідний многогранник, що має індекс U₇₄. Має 92 грані (80 трикутників і 12 п'ятикутників), 150 ребер і 60 вершин^[1]. Його символ Шлефлі — s{3/2,5/3}.

Декартові координати

Декартові координати вершин великого оберненокирпатого ікосододекаедра всі є парними перестановками: (±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)),

(±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)),

(±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) і

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)), з парним числом знаків «+», де

α = ξ−1/ξ

і

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ), де τ = (1+ √5)/2 — золотий перетин, а ξ — найменший додатний дійсний нуль функції ξ³−2ξ=−1/τ, а саме

${\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}}$

що приблизно дорівнює 0,3264046. Якщо взяти непарні перестановки координат вище з непарним числом знаків плюс, отримаємо іншу, енантіоморфну, форму. Якщо взяти непарні перестановки з парним числом знаків плюс чи навпаки, отримаємо ті ж тіла, повернуті на 90°.

Радіус описаної сфери для тіла з одиничним ребром дорівнює

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots }$,

де ${\displaystyle x}$ — відповідний нуль функції ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$. Чотири додатні дійсні корені рівняння шостого степеня в ${\displaystyle R^{2},}$

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

є радіусами описаних сфер кирпатого додекаедра (U₂₉), великого кирпатого ікосододекаедра^[en] (U₅₇), великого вивернутого кирпатого ікосододекаедра^[en] (U₆₉) і великого оберненокирпатого ікосододекаедра (U₇₄).

Див. також

• Список однорідних многогранників
• Великий кирпатий ікосододекаедр^[en]
• Великий вивернутий кирпатий ікосододекаедр^[en]

Примітки

1. Maeder, Roman. 74: great retrosnub icosidodecahedron. MathConsult.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Великий вивернутий оберненокирпатий ікосододекаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/