Дотичний вектор

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду ${\displaystyle M}$ евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в ${\displaystyle M}$.

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

${\displaystyle r:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ С ${\displaystyle p=r(0)\ }$

є довільна лінійна комбінація частинних похідних ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)}$.

Зауваження

• Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості ${\displaystyle C^{1}}$.
• Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задано гладкий шлях ${\displaystyle \mathbf {f} :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t₀:

${\displaystyle \mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial x_{1}}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial x_{2}}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial x_{n}}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)}$

Дотик двох шляхів означає, що різниця ${\displaystyle \mathbf {f} (t)}$ — ${\displaystyle \mathbf {f'} (t)=o(t-t_{0})}$; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x₀ можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x₀ в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ число ${\displaystyle Xf}$ і мають такі властивості:

• Адитивність: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}$
• Правило Лейбніца: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).}$

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$

${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf).}$

Це простір назвемо дотичним до многовиду ${\displaystyle M}$ в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також

• Гладкий многовид
• Дотичний простір

Джерела

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.