Загальна теорія множин

Зага́льна тео́рія множи́н (англ. General set theory — GST) — теорія множин, викладена Джорджем Булосом^[en] в його статті «Iteration again»^[1].

Аксіоматика GTS

Ці три аксіоми також входять до аксіоматичної теорії множин Z.

Аксіома об'ємності (екстенсіональності)

Якщо дві множини мають одні і ті ж елементи, вони тотожні.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].}$

Дж. Булос вважав, що аксіома об'ємності має спеціальний епістемологічний статус, якого не мають інші аксіоми. Якщо хтось скаже, що існують різні множини з одними й тими ж членами, він переконає нас в тому, що використовує поняття відмінне від нашого. Це враження буде набагато більшим, ніж при запереченні ким-небудь іншої аксіоми. Тому виникає спокуса назвати аксіому об'ємності (екстенсіональності) «аналітичною», оскільки її значення визначається значенням понять, які входять в неї.^[2]

Аксіомна схема виділення (схеми специфікації)

Будь-якій множині x і властивості F відповідає множина y, елементами якої є ті і тільки ті елементи x, які володіють властивістю F.

${\displaystyle \forall F\forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow x\in z\land F(x)].}$

Аксіомою виділення створюються лише такі підмножини множини, існування яких гарантоване іншими аксіомами.

Хоча аксіома виділення відіграє важливу роль в обмеженні розміру великих кількостей і блокуванні ряду парадоксів, вона не дає того, що треба математиці.

Аксіома приєднання

Якщо x і y — множини, то існує така множина w, приєднання x і y, чиї елементи — тільки y і елементи x.

${\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}$

Виноски

1. Boolos G. «Iteration again»// Philosophical Topics 17: 5-21(1989). Перевидана в книгу Boolos G, Richard Jeffrey and John P. Burgess, eds. Logic, Logic, and Logic. Harvard University — 1998.
2. Див.: Boolos G. The iterative conception of set // Jour. of Philosophy. — 1971. — V. 68(8): 215—231.

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Теорія множин Цермело — Френкеля
• Аксіоми Пеано

Література

• Boolos G. The iterative conception of set // Jour. of Philosophy. — 1971. — V. 68(8) — 215—231 р.
• Boolos G. «Iteration again» //Philosophical Topics. — 1989. — № 17 — 5-21 p.
• Дж. Булос, Р. Джеффри Вычислимость и логика. Пер. с англ. — М., Мир, 1994—396с, ил. ISBN 5-03-003067-0
• Boolos G, Richard Jeffrey and John P. Burgess, eds. Logic, Logic, and Logic. — Harvard: University press, 1998. — 88–104 р.
• Целищев, В. В. Теоретико-множественные аксиомы: мотивация и роль в математическом познании // Философия науки. — 2002. — № 3. — С. 32– 56.