Замкнута опукла функція

Функцію ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ називають замкнутою, якщо для кожного ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, підрівнева множина ${\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}$ це замкнута множина.

Тотожно, якщо надграфік визначений через ${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}}$ замкнутий, тоді функція ${\displaystyle f}$ замкнута.

Це визначення правильне для всіх функцій, але найуживаніше для опуклих функцій.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ це неперервна функція і ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$ замкнута, тоді ${\displaystyle f}$ замкнута.
• Якщо ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ це неперервна функція і ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$ відкрита, тоді ${\displaystyle f}$ закрита тоді й лише тоді, коли вона збігається до ${\displaystyle \infty }$ уздовж кожної послідовності, яка збігається до межової точки ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$.^[1]

Примітки

1. Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex optimization (PDF). New York: Cambridge. с. 639—640. ISBN 978-0521833783.