Про рід відсутні відомості. Син якогось Курція, гладіатора. Останній зумів здобути волю й напевне мав статок. Про навчання Руфа та початок кар'єри нічого невідомо.
Між 10 та 12 роками став квестором, згідно з Тацитом служив в провінції Африка. Між 16 та 21 роком його було обрано претором. Втім кар'єра призупинилася у зв'язку зі смертю імператора Тиберія, який підтримував Квінта Курція. З новим імператором Калігулою стосунки не склалися, тому Квінт Курцій відійшов від справ.
У жовтні 43 року, невдовзі після сходження на трон імператора Клавдія, Квінта Курція було призначено консулом-суффектом разом зі Спурієм Оппієм. Наприкінці 46 року Квінта Курція було призначено імператорським легатом-пропретором до провінції Верхня Германія. На цій посаді зміцнив римську присутність в області германського племені маттіаків, союзників хаттіїв. Тут відкрив копальню з видобутку срібла. Місцину забезпечив охороною легіонерів. За це отримав тріумфальні відзнаки (ornamenta triumphalia).
У 49 році повернувся до Риму. На початку 58 року його було призначено проконсулом до провінції Африка. Ймовірно помер близько 59 року на цій посаді.
Bengt E. Thomasson, Fasti Africani, Senatorische und ritterliche Ämter in den römischen Provinzen Nordafrikas von Augustus bis Diokletian, Paul Aströms Förlag, Stockholm 1996, S. 38, P 38. ISBN 91-7042-153-6. (нім.)
Ursula Vogel-Weidemann: Die Statthalter von Africa und Asia in den Jahren 14–68 n. Chr. Eine Untersuchung zum Verhältnis Princeps und Senat (= Antiquitas. Reihe 1: Abhandlungen zur Alten Geschichte. Band 31). Dr. Rudolf Habelt, Bonn 1982, ISBN 3-7749-1412-5, S. 184—188. (нім.)
