Конформна група

Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

• Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група ${\displaystyle \mathrm {CO} (V,Q)}$ є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр ${\displaystyle \lambda }$, такий що

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

  Для знаковизначеної квадратичної форми (тобто або додатно визначеної, або від'ємно визначеної) конформна ортогональна група дорівнює ортогональній групі, помноженій на групу розтягів.

• Конформна група сфери, породжена інверсіями відносно кіл. Ця група відома також як група Мебіуса.
• У евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$, n > 2, конформна група породжується інверсіями відносно гіперсфер.
• У псевдоевклідовому просторі ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ конформною групою є ${\displaystyle \mathrm {Conf} (p,q)\simeq \mathrm {O} (p+1,q+1)/\mathbb {Z} _{2}}$^[1].

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів

У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також гіперболічний кут^[en]. У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — гіперболічне обертання^[en], яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площині^[2].

Конформна група простору-часу

1908 року Гаррі Бейтмен^[ru] і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часу^[3][4][5] (тепер зазвичай позначається як ${\displaystyle C(1,3)}$)^[6]. Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як ізотропна квадратична форма^[en]. Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформності^[7]. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними»^[8].

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числах^[9]. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від проєктивної прямої над кільцем^[en] бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті Людвіка Зільберштейна^[en] (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав сферичним перетворенням хвилі^[en]. Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе сферична геометрія Лі^[en].

Примітка

1. Vaz, da Rocha, 2016, с. 140.
2. Takasu, 1941, с. 330–8.
3. Bateman, 1908, с. 70–89.
4. Bateman, 1910, с. 223–264.
5. Cunningham, 1910, с. 77–98.
6. Косяков, 2017, с. 225.
7. Warwick, 2003, с. 416–24.
8. Gilmore, 1994, с. 349.
9. Яглом, 1969.

Література

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. — Oxford University Press, 2016. — С. 140. — ISBN 9780191085789.
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri // [1] — 1941. — Т. 17. Архівовано з джерела 16 червня 2020
• Harry Bateman. The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1908. — Т. 7 (4 червня). — DOI:10.1112/plms/s2-7.1.70.
• Harry Bateman. The Transformation of the Electrodynamical Equations // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (4 червня). — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.223.
• Ebenezer Cunningham. The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (4 червня). — С. 77–98. — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.77.
• Косяков Б.П. Введение в классическую теорию частиц полей. — Москва, Ижевск, 2017. — ISBN 978-5-4344-0450-1.
• Andrew Warwick. Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. — Chicago : University of Chicago Press, 2003. — ISBN 0-226-87375-7.
• Robert Gilmore. Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications. — Robert E. Krieger Publishing, 1994. — ISBN 0-89464-759-8. Перше видання 1974
• Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — Москва : «Наука», 1969. — (Библиотека математического кружка)

Література для подальшого читання

• Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. — «Наука», 1986.
• Sharpe R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer-Verlag, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk. Some Concepts of Conformal Geometry // American Mathematical Monthly. — 1960. — Т. 67, вип. 1 (4 червня). — С. 1−30. — DOI:10.2307/2308920.