Кут паралельності

Кут паралельності θ, прямі ${\displaystyle {\mathcal {x}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {y}}}$ асимптотично паралельні до прямої ${\displaystyle \ell }$.

Кут паралельності в гіперболічній геометрії — кут між перпендикуляром до даної прямої і асимптотично паралельною прямою, проведеною з точки, що не лежить на даній прямій.

В евклідовій геометрії кут паралельності завжди прямий.

У гіперболічній геометрії, кут паралельності завжди гострий. На гіперболічній площині з кривиною −1 кут паралельності для точки на відстані ${\displaystyle a}$ від прямої зазвичай позначається ${\displaystyle \Pi (a)}$.

Властивості та співвідношення

• ${\displaystyle \Pi (a)}$ є гострим кутом при катеті, рівному ${\displaystyle a}$, у прямокутному гіперболічному трикутнику, який має дві асимптотичні паралельні сторони.
• ${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

• ${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\,}$

• ${\displaystyle \cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\,}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},}$

• ${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),}$

де ${\displaystyle \operatorname {\rm {sh}} }$, ${\displaystyle \operatorname {\rm {ch}} }$, ${\displaystyle \operatorname {\rm {th}} }$, ${\displaystyle \operatorname {\rm {sech}} }$ і ${\displaystyle \operatorname {\rm {csch}} }$ — гіперболічна функція, а ${\displaystyle \operatorname {\rm {gd}} }$ — функція Гудермана.

Історія

Кут паралельності розглядав Лобачевський^[1]. Зокрема, він вивів співвідношення

${\displaystyle \operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.}$

Примітки

1. Lobachevsky, N. I. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. — Berlin, 1840.

Література

• Д. Мордухай-Болтовской. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского // In mem. Lobatschevskii. — 1927. — Т. 2 (17 декабря). — С. 67–82.
• Лобачевский, Николай Иванович. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М.-Л. : изд-во Академии Наук СССР, 1945. — 176 с. Архівовано з джерела 26 грудня 2021