Лема Артіна — Ріса

В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.

Твердження

Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай M — скінченнопороджений модуль над R і N — його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,

${\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{n-k}((I^{k}M)\cap N).}$

Доведення

Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо ${\displaystyle B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}X^{n}}$. Оскільки ${\displaystyle I^{m}I^{n}\subseteq I^{m+n}}$ можна розглядати ${\displaystyle B_{I}R}$ як градуйоване кільце. Якщо позначити ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$ — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи ${\displaystyle \{a_{1}X,\ldots ,a_{r}X\}}$ є породжуючими для ${\displaystyle B_{I}R}$ як алгебри над R і тому ${\displaystyle B_{I}R}$ є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x]}$ і згідно теореми Гільберта про базис ${\displaystyle B_{I}R}$ є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів ${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$ називається I-фільтрацією якщо ${\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}}$; I-фільтрація називається стабільною якщо ${\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}$ для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо ${\displaystyle B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}X^{n}}$; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем ${\displaystyle B_{I}R}$.

${\displaystyle B_{I}M}$ є скінченнопородженим модулем над ${\displaystyle B_{I}R}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle B_{I}M}$ є I-стабільним.

Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то ${\displaystyle B_{I}M}$ є породженою ${\displaystyle k+1}$ членами ${\displaystyle M_{0},\dots ,M_{k}}$ кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, ${\displaystyle B_{I}M}$ є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}X^{j}}$, тоді для ${\displaystyle n\geq k}$, кожен елемент f з ${\displaystyle M_{n}}$ може бути записаним як

${\displaystyle f=\sum a_{ij}X^{n-j}g_{ij}X^{j},\quad a_{ij}\in I^{n-j}}$

для породжуючих елементів ${\displaystyle g_{ij}}$ з ${\displaystyle M_{j},j\leq k}$ (для кожного елемента ${\displaystyle g_{ij}}$ індекс ${\displaystyle j}$ береться максимальним з тих, що ${\displaystyle g_{ij}\in M_{j}}$). Тобто, ${\displaystyle f\in I^{n-k}M_{k}}$.

Позначимо тепер ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$. Тоді ${\displaystyle M_{n}}$ є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що ${\displaystyle B_{I}M}$ є скінченно породженим над ${\displaystyle B_{I}R}$ і тому ${\displaystyle B_{I}M}$ є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над ${\displaystyle B_{I}R}$; зокрема, ${\displaystyle B_{I}N}$ є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто ${\displaystyle N_{n}=M_{n}\cap N=I^{n}M\cap N}$. Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми

Теорема Круля про перетини

Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину

${\displaystyle N:=\cap _{n>0}I^{n}M}$

належать всі елементи ${\displaystyle x\in M}$ для яких ${\displaystyle (1-\alpha )x=0\,}$ для деякого елемента ${\displaystyle \alpha \in I}$, який може бути обраний єдиним для всіх ${\displaystyle x\in N}$.

Доведення

Очевидно, що якщо ${\displaystyle \alpha x=x\,\,x\in M}$ для деякого елемента ${\displaystyle \alpha \in I}$ то ${\displaystyle x\in I^{n}M,\;\;\forall n\geqslant 0}$ і відповідно ${\displaystyle x\in N}$.

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх ${\displaystyle n\geq k}$, ${\displaystyle \ \ I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N).}$ Зокрема для ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle I^{k+1}M\cap N=I(I^{k}M\cap N).}$

Але оскільки ${\displaystyle I^{k+1}M\cap N=I^{k}M\cap N=N}$то звідси ${\displaystyle IN=N}$ і згідно леми Накаями існує ${\displaystyle \alpha \in I}$ такий, що ${\displaystyle (1-\alpha )x=0\,}$ для всіх ${\displaystyle x\in N}$.

Наслідок для локальних нетерових кілець

Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$.

Оскільки ${\displaystyle I^{n}\subset {\mathfrak {m}}}$ то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля ${\displaystyle I=M={\mathfrak {m}}}$ і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи ${\displaystyle 1-\alpha ,\,\alpha \in {\mathfrak {m}}}$ є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.

Література

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

Посилання

• Artin-Rees Theorem на PlanetMath