Лема Зігеля

У математиці, зокрема в теорії трансцендентних чисел і діофантовому наближенні, лема Зігеля стосується меж розв'язків лінійних рівнянь, отриманих побудовою допоміжних функцій^[en]. Існування цих поліномів довів Аксель Туе^[en][1]; у доведенні Туе використано принцип Діріхле. Карл Людвіг Зігель опублікував свою лему 1929 року^[2]. Це чиста теорема існування для системи лінійних рівнянь.

В останні роки^[коли?] лему Зігеля вдосконалено, щоб отримати точніші межі для оцінок, які вона надає^[3].

Формулювання

Нехай дано систему M лінійних рівнянь із N невідомими таку, що N > M, скажімо

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

де коефіцієнти — раціональні цілі числа, не всі рівні 0, і обмежені B. Тоді система має розв'язок

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$,

де X_i — раціональні цілі числа, не всі рівні 0, і обмежені

${\displaystyle (NB)^{M/(N-M)}.}$^[4]

Bombieri та Vaaler, (1983) дали таку точнішу межу для X_i:

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}}$

де D — найбільший спільний дільник мінорів матриці A M × M, а A^T — її транспонована матриця. В їхньому доведенні принцип Діріхле замінено методами з геометрії чисел.

Див. також

• Діофантове наближення

Примітки

1. Thue, Axel (1909). Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Math. 1909 (135): 284—305. doi:10.1515/crll.1909.135.284. 
2. Siegel, Carl Ludwig (1929). Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.: 41—69. , reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213
3. Bombieri, E.; Mueller, J. (1983). On effective measures of irrationality for ${\displaystyle {\scriptscriptstyle {\sqrt[{r}]{a/b}}}}$ and related numbers. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 342: 173—196. 
4. (Hindry та Silverman, 2000) Lemma D.4.1, page 316.

Література

• Bombieri, E.; Vaaler, J. (1983). On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11—32. Bibcode:1983InMat..73...11B. doi:10.1007/BF01393823. 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics. Т. 201. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98981-5. MR 1745599. 
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125—128 and 283—285)
• Wolfgang M. Schmidt. «Chapter I: Siegel's Lemma and Heights» (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.