Логарифмічно опукла функція

Кажуть, що функція f означена на опуклій підмножині дійсного векторного простору і така, що приймає додатні значення логарифмічно опукла чи суперопукла^[1] якщо ${\displaystyle {\log }\circ f}$, композиція логарифмічної функції з f, це  — опукла функція. Логарифм дуже сповільнює зростання початкової функції ${\displaystyle f}$, отже якщо композиція зберігає властивість опуклості, то це повинно означати, що початкова функція ${\displaystyle f}$ була 'дійсно опуклою', звідси термін суперопукла.

Логарифмічно опукла функція f — це опукла функція, бо це композиція висхідної функція ${\displaystyle \exp }$ і функції ${\displaystyle \log \circ f}$, яка опукла за припущенням. Зворотнє твердження не завжди істинно: наприклад, ${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$ — опукла, але ${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$ — ні і тому ${\displaystyle g}$ не логарифмічно опукла. З іншого боку, ${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$ — логарифмічно опукла, бо ${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$ — опукла. Важливим прикладом логарифмічно опуклої функції є гамма-функція на множині додатних дійсних чисел.

Властивості

• Логарифмічна опуклість ${\displaystyle \Rightarrow }$ опуклість ${\displaystyle \Rightarrow }$ квазіопуклість.^[2]

Див. також

• Логарифмічно угнута функція
• Теорема Бор-Молерупа

Примітки

1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2. Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.