Локальне поле

Локальне поле — певний тип полів з топологією, що часто виникають як поповнення полів. Ця топологія породжується для цих полів деяким абсолютним значенням. Локальні поля пов'язані із глобальними полями — скінченними розширеннями раціональних чисел і раціональних функцій однієї змінної над скінченними полями.

Означення

Локально компактне топологічне поле з недискретною топологією називається локальним.

Типи локальних полів

Існує два основних види локальних полів: ті, в яких абсолютне значення є архімедовим, і ті, в яких це не так. Перші називають архімедовими локальними полями, а другі — неархімедовими локальними полями .

Неархімедові локальні поля можна також охарактеризувати як повні поля щодо дискретного нормування для яких поле лишків є скінченним.

Будь-яке локальне поле є ізоморфним (як топологічне поле) одному з таких полів:

• Архімедові локальні поля (характеристика дорівнює нулю): поле дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ із стандартними топологіями для цих полів.
• Неархімедові локальні поля нульової характеристики: р-адичні числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ і їх скінченні розширення.
• Неархімедові локальні поля характеристики ${\displaystyle p\neq 0}$: формальні ряди Лорана над скінченним полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ і їх скінченні розширення.

Властивості

Абсолютне значення

Якщо на локальному полі K задано відповідне абсолютне значення то на K можна ввести топологію: для додатного дійсного числа m, позначимо B_m підмножину K рівну

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Тоді b+B_m є базою околів точки b у K. Навпаки, якщо задана локально компактна недискретна топологія то адитивна група локального поля, як будь-яка локально компактна топологічна група, допускає єдину (з точністю до множення на додатне число) міру Хаара μ. На полі ${\displaystyle K}$ можна ввести абсолютне значення ${\displaystyle |a|}$ як

${\displaystyle |a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}$

для деякого (а тому і будь-якої) вимірної підмножини ${\displaystyle X\subset K}$ з ненульовою скінченною мірою Хаара.

Неархімедові локальні поля

У неархімедовому локальному полі ${\displaystyle K}$ з абсолютним значенням ${\displaystyle |{*}|}$ можна дати наступні означення:

• Кільце цілих чисел

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.}$

Воно утворює кільце дискретного нормування і компактну кулю в ${\displaystyle (K,|{*}|)}$.

• Одиниці в кільці цілих чисел визначаються як ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}}$.

Вони утворюють групу і одиничну сферу в ${\displaystyle (K,|{*}|)}$.

• Єдиний ненульовий простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ в кільці цілих чисел є відкритою одиничною кулею

${\displaystyle \{a\in K:|a|<1\},}$

і його породжуючий елемент ${\displaystyle \omega \in {\mathfrak {m}}}$ називається уніформізуючим елементом ${\displaystyle K}$.

• Поле лишків ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$ є скінченним, оскільки воно є компактним і дискретним.
• При цьому ${\displaystyle |\omega |={\tfrac {1}{|k|}}}$, де ${\displaystyle |k|}$ — потужність поля лишків ${\displaystyle k}$.

• Кожен ненульовий елемент ${\displaystyle a\in K}$ можна записати як ${\displaystyle a=\omega ^{n}\cdot u}$, де ${\displaystyle u}$ — одиничний елемент, ${\displaystyle n}$ — ціле число, яке визначається однозначно за ${\displaystyle a}$.
• Зокрема ${\displaystyle |a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.}$

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Нормування (алгебра)
• P-адичне число

Література

• Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, т. 121 (вид. Second), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016
• Weil, André (1995), Basic number theory, Classics in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-58655-5