Локальний мартингал

У математиці, локальний мартингал — це тип стохастичного процесу, що задовільняє локалізовану версію мартингальної властивості. Кожен мартингал є локальним мартингалом; кожен обмежений локальний мартингал є мартингалом; зокрема, кожен локальний мартингал, обмежений знизу — супермартингал і кожен локальний мартингал, обмежений зверху є субмартингалом. Однак, взагальному локальний мартингал не є мартингалом, оскільки його математичне сподівання може бути спотворене великими значеннями з малою ймовірністю. Зокрема, бездрифтовий дифузійний процес є локальним мартингалом, але не обов'язково мартингал.

Локальні мартингали мають важливе значення у стохастичному аналізі, наприклад числення Іто, напівмартингали, теорема Ґірсанова.

Означення

Нехай (Ω, F, P) ймовірнісний простір; F_∗ = { F_t | t ≥ 0 } фільтрація F; нехай X : [0, +∞) × Ω → S — F_∗-адаптований стохастичний процес на множині S. Тоді X називається F_∗ — локальним мартингалом якщо існує послідовність F_∗-марківських моментів часу τ_k : Ω → [0, +∞) таких що

• τ_k — майже напевно зростаюча: P[τ_k < τ_k+1] = 1;
• τ_k розбіжна майже напевно: P[τ_k → +∞ as k → +∞] = 1;
• зупинений процес

${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$

є F_∗-мартингалом для кожного k.

Джерела

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (вид. Sixth). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.