Локально скінченна міра

У математиці локально скінченною мірою називається міра для якої кожна точка вимірного простору має окіл скінченної міри^[1][2][3].

Означення

Нехай ${\displaystyle (X,T)}$ є гаусдорфовим топологічним простором і нехай ${\displaystyle \Sigma }$ є ${\displaystyle \sigma }$-алгеброю на ${\displaystyle X}$, яка містить всі відкриті множини із ${\displaystyle T}$ (тобто кожна відкрита множина є вимірна множина, ${\displaystyle \Sigma }$ тоді також містить борелівську ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на ${\displaystyle X}$). Міра/заряд/комплексна міра ${\displaystyle \mu }$ задана на ${\displaystyle \Sigma }$ називається локально скінченною якщо для кожної точки ${\displaystyle p}$ простору ${\displaystyle X,}$ існує відкритий окіл ${\displaystyle N_{p}}$ точки ${\displaystyle p}$ для якого ${\displaystyle \mu }$-міра множини ${\displaystyle N_{p}}$ є скінченною.

Більш стисло ${\displaystyle \mu }$ є локально скінченною мірою якщо:

${\displaystyle \forall p\in X,\ \exists N_{p}\in T:\ p\in N_{p},\ \left|\mu \left(N_{p}\right)\right|<+\infty .}$

Приклади

• Будь-яка будь-яка міра значення якої на всьому просторі є скінченним, зокрема міра ймовірності на ${\displaystyle X}$ є локально скінченною.
• Міра Лебега і більш загально міра Лебега — Стілтьєса на евклідовому просторі є локально скінченною.
• За означенням, будь-яка міра Радона є локально скінченною.
• Лічильна міра може бути локально скінченна в деяких випадках і не бути в інших: лічильна міра на множині цілих чисел із дискретною топологією є локально скінченною але на дійсній прямій із стандартною топологією не є локально скінченною.

Примітки

1. Berge, Claude (1963). Topological Spaces. с. 31. ISBN 0486696537.
2. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1978). Counterexamples in Topology. с. 22.
3. Gemignani, Michael C. (1972). Elementary Topology. с. 228. ISBN 0486665224.