Незвичайне число

Демонстрація паличками Кюїзенера, що число 10 — незвичайне число, його найбільший простий дільник дорівнює 5, що більше, ніж √10 ≈ 3,16

Незвичайне число — натуральне число ${\displaystyle n}$, найбільший простий множник якого строго більше ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

У ${\displaystyle k}$-гладкого числа всі прості множники менше або дорівнюють ${\displaystyle k}$, тому незвичайне число не ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ гладке.

Всі прості числа незвичайні. Для будь-якого простого ${\displaystyle p}$ його кратні, менші ${\displaystyle p^{2}}$, є незвичайними, тобто ${\displaystyle p,\dots ,(p-1)p}$, у яких щільність ${\displaystyle 1/p}$ в інтервалі ${\displaystyle (p,p^{2})}$.

Перші кілька незвичайних чисел^[1]:

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38 , 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67 …

Перші кілька непростих незвичайних чисел:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66 , 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102 ….

Якщо позначити кількість незвичайних чисел, менших або рівних ${\displaystyle n}$, через ${\displaystyle u(n)}$, то ${\displaystyle u(n)}$ поводиться таким чином:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle u(n)}$	${\displaystyle u(n)/n}$
10	6	0,6
100	67	0,67
1000	715	0,72
10000	7319	0,73
100000	73322	0,73
1000000	731660	0,73
10000000	7280266	0,73
100000000	72467077	0,72
1000000000	721578596	0,72

Ріхард Шреппель встановив в 1972 році, що асимптотична ймовірність того, що випадково вибране число є незвичайним, дорівнює ln (2):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0{,}693147\dots }$

Примітки

1. послідовність A064052 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Ресурси Інтернету

• Вайсстайн, Ерік Грубе число(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.