Нерівність Адамара

Нерівність Адамара (також теорема Адамара про визначники), визначає верхню межу об'єму паралелепіпеда в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому просторі, заданого ${\displaystyle n}$ векторами. Названа на честь Жака Адамара.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$, а ${\displaystyle M}$ - матриця із комплексними стовпцями якої є вектори ${\displaystyle v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$. Тоді

${\displaystyle |\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},}$

де ${\displaystyle {||\cdot ||}_{2}}$ — евклідова норма вектора, тобто для вектора ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}$ норма рівна ${\displaystyle ||a||_{2}:={\sqrt {|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)^{1/2}}$

У випадку матриці з дійсними елементами, з точки зору геометрії нерівність стверджує, що об'єм ${\displaystyle n}$-вимірного паралелепіпеда є максимальним, коли його задають взаємно перпендикулярні вектори.

Доведення

Для довільної квадратної матриці ${\displaystyle M}$ з комплексними елементами матриця ${\displaystyle A=MM^{*}}$ є додатноозначеною. Окрім того ${\displaystyle \det A=(\det M)^{2}}$ і ${\displaystyle a_{ii}={||v_{i}||}_{2}^{2}.}$ Тому достатньо довести твердження:

Якщо матриця ${\displaystyle A}$ розмірності ${\displaystyle n\times n}$ є додатноозначеною, то

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.}$

Визначник ${\displaystyle |A|}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle |A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Так як ${\displaystyle A}$ додатноозначена, то і матриця, яка є першим доданком в сумі, теж додатноозначена. Позначимо ${\displaystyle A'}$ матрицю, що одержується з ${\displaystyle A}$ вилученням першого рядка і стовпця. Оскільки вона є додатноозначеною то додатноозначеною є і її союзна матриця (оскільки її власними значеннями будуть ${\displaystyle \det A'/\lambda }$ , де ${\displaystyle \lambda }$ — власні значення матриці ${\displaystyle A'}$). Проіндексуємо рядки і стовпці A' від 2 до ${\displaystyle n}$ (тобто кожен елемент буде мати той же індекс, що і в ${\displaystyle A}$). Якщо позначити ${\displaystyle M^{ij}}$ — мінор матриці ${\displaystyle A'}$ при вилученні ${\displaystyle i}$-го рядка і ${\displaystyle j}$-го стовпця, то елемент ${\displaystyle A_{ij}}$ союзної матриці буде рівним ${\displaystyle (-1)^{i+j}M^{ij}}$. Натомість у другому визначнику вище множник біля ${\displaystyle a_{1j}a_{i1}}$ буде рівний ${\displaystyle (-1)^{1+j}(-1)^{1+i-1}M^{ij}}$ тобто ${\displaystyle -A_{ij}}$.

Отже, квадратична форма по змінним ${\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}$, якою є другий доданок, є відємноозначеною. Тому

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ і рівність є можливою тоді і лише тоді коли всі ${\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}$ є рівними нулю.

Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.

Матриці Адамара

В комбінаториці матриці з елементами з ${\displaystyle \{+1,\;-1\}}$, для яких у нерівності Адамара виконується рівність, називаються матрицями Адамара. Таким чином, визначник таких матриць по модулю дорівнює ${\displaystyle n^{\frac {n}{2}}}$. З таких матриць отримують коди Адамара.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.