Нерівність Ердеша — Морделла

Нерівність Ердеша-Морделла — наступна нерівність:

Якщо ${\displaystyle \ P}$ точка всередині трикутника ${\displaystyle \ ABC}$, а ${\displaystyle \ X,Y,Z}$ основи перпендикулярів опущених з точки ${\displaystyle \ P}$ на сторони ${\displaystyle \ BC,AC,AB}$ відповідно, то

${\displaystyle AP+BP+CP\geq 2(PX+PY+PZ)}$

Про нерівність

Нерівність вперше була сформульована Палом Ердешем у журналі American Mathematical Monthly у 1935 році і у цьому ж році була доведена Морделлом. Найвідоміші доведення - це доведення Андже Авеза через теорему птолемея, Леона Банко через подібність трикутників і обрахунок кутів, Вілмоса Коморніка через площі, а також Луіса Морделла із використанням тригонометрії.

Доведення

Для початку доведемо нерівність ${\displaystyle AP\geq {\dfrac {AB}{BC}}PY+{\dfrac {AC}{BC}}PZ}$ (єдина різниця між доведеннями перечисленими вище є, як вони доводять цю нерівність). Наведемо класичне доведення цієї нерівності.

Застосувавши теорему синусів, до нерівності ${\displaystyle AP\geq {\dfrac {AB}{BC}}PY+{\dfrac {AC}{BC}}PZ}$ отримаємо,

${\displaystyle AP\sin {\alpha }\geq PY\sin {\gamma }+PZ\sin {\beta }}$

остання нерівність негайно слідує, з того, що величина проєкції відрізку ${\displaystyle \ YZ}$ на пряму ${\displaystyle \ BC}$ не перевищуватиме величину самого відрізка.

Аналогічно можна довести, що ${\displaystyle BP\geq {\dfrac {AB}{AC}}PX+{\dfrac {BC}{AC}}PZ}$ та ${\displaystyle CP\geq {\dfrac {AC}{AB}}PX+{\dfrac {BC}{AB}}PY}$, додавши три нерівності і застосувавши між нерівність Коші, для двох елементів отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}AP+BP+CP&\geq 2\left(PX\left({\dfrac {AB}{AC}}+{\dfrac {AC}{AB}}\right)+PY\left({\dfrac {AB}{BC}}+{\dfrac {BC}{AB}}\right)+PZ\left({\dfrac {BC}{AC}}+{\dfrac {AC}{BC}}\right)\right)\\&\geq 2(AB+BC+AC).\\\end{aligned}}}$

Схожі нерівності

Часто на математичних олімпіадах пропонують нерівності, які схожі на нерівність Ердеша Морделла тобто теж пов'язують величини ${\displaystyle \ PX,PY,PZ,AP,BP,CP.}$

Зокрема нерівність, що була доведена Луісом Морделлом у 1962:

${\displaystyle AP\cdot BP\cdot CP\geq (PX+PY)(PY+PZ)(PX+PY)}$

Такі нерівності часто доводять використовуючи, що

${\displaystyle AP\geq {\dfrac {AB}{BC}}PY+{\dfrac {AC}{BC}}PZ}$ і ${\displaystyle AP\geq {\dfrac {BC}{AB}}PY+{\dfrac {BC}{AC}}PZ.}$

Класичні нерівності в трикутнику

Перша нерівність була доведена нами раніше, доведемо другу.

Нехай ${\displaystyle \ H_{A},H_{B},H_{C}}$ основи перпендикулярів опущених, з вершин ${\displaystyle \ A,B,C}$ на сторони ${\displaystyle \ BC,AC,AB}$. ${\displaystyle \ S}$ — площа трикутника.

Зауважимо, що ${\displaystyle AP+PX\geq AH_{A}}$ і ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}AH_{A}\cdot BC=S={\dfrac {1}{2}}PX\cdot BC+{\dfrac {1}{2}}PY\cdot AC+{\dfrac {1}{2}}PZ\cdot AB}$ отримавши з останнього ${\displaystyle \ AH_{A}}$ і поклавши його в перше отримаємо

${\displaystyle AP\geq {\dfrac {BC}{AB}}PY+{\dfrac {BC}{AC}}PZ.}$

Джерела

• Kiran S. Kedlaya (version of 17 Jan 2006). Geometry Unbound (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 червня 2011. Процитовано 29 жовтня 2010.