Нерівність Пеєтре

У математиці нерівність Пеєтре є нерівністю на векторних просторах названою на честь естонського математика Яака Пеєтре.

Для довільного дійсного числа t і векторів x і y у Rⁿ, вірною є нерівність:

${\displaystyle \left({\frac {1+|x|^{2}}{1+|y|^{2}}}\right)^{t}\leqslant 2^{|t|}(1+|x-y|^{2})^{|t|}.}$

Нерівність часто використовується у функціональному аналізі і теорії диференціальних рівнянь.

Доведення

Для довільних векторів ${\displaystyle y,z\in \mathbb {R} ^{n}}$ із нерівності Коші — Буняковського і означення норми вектора випливає, що

${\displaystyle {\begin{aligned}1+|y-z|^{2}&=1+|y|^{2}+2(y,z)+|z|^{2}\\&\leqslant 1+|y|^{2}+2|y||z|+|z|^{2}\\&\leqslant 1+2|y|^{2}+2|z|^{2}\\&\leqslant 2(1+|y|^{2})(1+|z|^{2}).\end{aligned}}}$

Якщо позначити ${\displaystyle x=y-z}$ то одержується нерівність:

${\displaystyle 1+|x|^{2}\leqslant 2(1+|y|^{2})(1+|x-y|^{2}).}$

Якщо ${\displaystyle t>0}$ то після піднесення цієї нерівності у степінь t одержується твердження нерівності Пеєтре. Якщо ${\displaystyle t<0}$ то ${\displaystyle -t>0}$ і тому після зміни місцями векторів ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle x}$ і піднесення нерівності у степінь ${\displaystyle -t}$ одержиться нерівність:

${\displaystyle (1+|y|^{2})^{-t}\leqslant 2^{-t}(1+|x|^{2})^{-t}(1+|x-y|^{2})^{-t}.}$

Нерівність Пеєтре одержується після множення обидвох частин останньої нерівності на ${\displaystyle (1+|x|^{2})^{t}}$ і врахування того факту, що у цьому випадку ${\displaystyle |t|=-t.}$

Якщо ${\displaystyle t=0}$, то обидві сторони нестрогої нерівності Пеєтре є рівними 1.

Література

• Chazarain, J.; Piriou, A. (2011), Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations, Studies in Mathematics and its Applications, Elsevier, с. 90, ISBN 9780080875354.
• Ruzhansky, Michael; Turunen, Ville (2009), Pseudo-Differential Operators and Symmetries: Background Analysis and Advanced Topics, Pseudo-Differential Operators, Theory and Applications, т. 2, Springer, с. 321, ISBN 9783764385132.
• Saint Raymond, Xavier (1991), Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, Studies in Advanced Mathematics, т. 3, CRC Press, с. 21, ISBN 9780849371585.