Нуль (комплексний аналіз)

Нуль голоморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ — у комплексному аналізі число ${\displaystyle z=a}$ таке, що обертає функцію в нуль:${\displaystyle f(a)=0}$. При цьому нуль може бути як дійсним, так і комплексним числом.

Обчислення нулів

Якщо ${\displaystyle z=a\neq \infty }$ — нуль, і функція ${\displaystyle f(z)}$ має розвинення в ряд Тейлора у вигляді ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$, то ${\displaystyle C_{0}=f(a)=0}$. Якщо ${\displaystyle C_{m}}$ перший відмінний від нуля коефіцієнт розвинення, тобто ${\displaystyle f(z)=C_{m}(z-a)^{m}+C_{m+1}(z-a)^{m+1}+...}$, то число m — порядок, або кратність нуля функції ${\displaystyle f(z)}$.

Оскільки ${\displaystyle C_{k}={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}}$, то порядок нуля дорівнює порядку похідної, відмінної від нуля в точці a.

Точка ${\displaystyle z=a\neq \infty }$ є нулем порядку m тоді і тільки тоді, коли функція перетворюється у вигляд ${\displaystyle f(z)=(z-a)^{m}g(z),\quad g(a)\neq 0}$, а ${\displaystyle g(z)}$ — голоморфна в точці а.

Існування нулів

Основна теорема алгебри стверджує, що відмінний від сталої многочлен має хоча б один нуль у комплексній площині. На відміну від дійсних функцій, які нулів можуть і не мати, наприклад, ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ не має нулів у дійсній множині.

Властивості

Нулі голоморфної функції завжди ізольовані. Тобто існує такий окіл а, в якому немає інших нулів функції ${\displaystyle f(z)}$ відмінних від а.

Див. також

• Полюс (комплексний аналіз)

Джерела

• Грищенко А. О., Нагнибіда М. І., Настасів П. П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.