Функція, визначена на прямокутнику (вгорі — червоний колір) та її слід (червоний внизу)
Оператор сліду — розширення поняття звуження функції на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із просторів Соболєва .
Якщо
Ω
{\displaystyle \Omega }
— область в евклідовому просторі
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
і функція
U
∈
C
(
Ω
¯
)
{\displaystyle U\in C({\bar {\Omega }})}
, то
U
{\displaystyle U}
приймає значення на границі
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
, яке позначається
U
|
d
Ω
{\displaystyle U|_{d\Omega }}
. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
для довільної функції
U
∈
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )}
(така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль , а міра Лебега множини
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
дорівнює нулю).
Нехай
Ω
{\displaystyle \Omega }
— обмежена область і
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
є
C
1
;
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle C^{1};p\in [1,\infty )}
. Тоді існує такий лінійний оператор
T
:
W
1
,
p
(
Ω
)
↦
L
p
(
∂
Ω
)
{\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\mapsto L^{p}(\partial \Omega )}
, що:
1)
T
U
=
U
|
d
Ω
{\displaystyle T_{U}=U|_{d\Omega }}
, якщо
U
∈
W
1
,
p
(
Ω
)
∩
C
(
Ω
¯
)
{\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}
;
2)
∃
C
>
0
∀
U
∈
W
1
,
p
(
Ω
)
:
‖
T
U
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \exists C>0\forall U\in W^{1,p}(\Omega ):\|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
.
Оператор
T
{\displaystyle T}
визначений у теоремі, називається оператором сліду , а
T
U
{\displaystyle T_{U}}
— слідом функції на границі
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
.
1. Припустимо спочатку, що
U
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle U\in C^{1}(\Omega )}
і границя області
Ω
{\displaystyle \Omega }
є плоскою в деякому околі точки
x
0
{\displaystyle x^{0}}
, тобто існує таке число
r
>
0
{\displaystyle r>0}
, що
B
r
(
x
0
)
∩
(
Ω
¯
)
=
B
r
(
x
0
)
∩
{
x
:
x
n
⩾
0
}
=:
B
r
+
{\displaystyle B_{r}(x^{0})\cap ({\bar {\Omega }})=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\geqslant 0\}=:B_{r}^{+}}
.
Позначимо
B
r
−
:=
B
r
(
x
0
)
∩
{
x
:
x
n
⩽
0
}
.
{\displaystyle B_{r}^{-}:=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\leqslant 0\}.}
Виберемо функцію
ζ
∈
C
0
∞
(
B
r
(
x
0
)
)
{\displaystyle \zeta \in C_{0}^{\infty }(B_{r}(x^{0}))}
таку, що
ζ
⩾
0
{\displaystyle \zeta \geqslant 0}
на
B
r
(
x
0
)
{\displaystyle B_{r}(x^{0})}
і
ζ
≡
1
{\displaystyle \zeta \equiv 1}
на
B
r
/
2
(
x
0
)
{\displaystyle B_{r/2}(x^{0})}
. Позначимо
Γ
:=
B
r
/
2
(
x
0
)
∩
{
x
:
x
n
=
0
}
{\displaystyle \Gamma :=B_{r/2}(x^{0})\cap \{x:x_{n}=0\}}
i
x
′
=
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
−
1
)
∈
R
n
−
1
=
{
x
n
=
0
}
{\displaystyle x^{\prime }=(x_{1},...,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}=\{x_{n}=0\}}
. Застосовуючи нерівність Юнга , виводимо
∫
Γ
|
U
|
p
d
x
′
⩽
∫
{
x
n
=
0
}
ζ
|
U
|
p
d
x
′
=
−
∫
B
r
+
∂
x
n
(
ζ
|
U
|
p
)
d
x
=
−
∫
B
r
+
(
|
U
|
p
∂
x
n
ζ
+
ζ
p
|
U
|
p
−
1
sgn
(
U
)
∂
x
n
U
)
d
x
⩽
C
∫
B
r
+
(
|
U
|
p
+
∑
i
=
1
n
|
∂
x
i
U
|
p
)
d
x
⩽
C
‖
U
‖
W
1
,
p
(
B
r
+
)
p
{\displaystyle \int \limits _{\Gamma }|U|^{p}~dx^{\prime }\leqslant \int \limits _{\{x_{n}=0\}}\zeta |U|^{p}~dx^{\prime }=-\int \limits _{B_{r}^{+}}\partial x_{n}(\zeta |U|^{p})dx=-\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}\partial x_{n}\zeta +\zeta p|U|^{p-1}\operatorname {sgn}(U)\partial x_{n}U)dx\leqslant C\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}+\sum _{i=1}^{n}|\partial x_{i}U|^{p})dx\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(B_{r}^{+})}^{p}}
(*)
2. Якщо межа не є плоскою в околі
B
r
(
x
0
)
{\displaystyle B_{r}(x^{0})}
точки
x
0
∈
∂
Ω
{\displaystyle x^{0}\in \partial \Omega }
, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення
F
:
B
r
(
x
0
)
↦
R
n
{\displaystyle F:B_{r}(x^{0})\mapsto \mathbb {R} ^{n}}
i застосувавши (*) виводимо нерівність
∫
Γ
|
U
|
p
d
σ
x
⩽
C
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
p
{\displaystyle \int \limits _{\Gamma }|U|^{p}d\sigma _{x}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}}
де
Γ
=
∂
Ω
∩
B
r
/
2
(
x
0
)
{\displaystyle \Gamma =\partial \Omega \cap B_{r/2}(x^{0})}
.
3.Оскільки
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
— компакт , то існує скінченне число точок
x
i
0
∈
∂
Ω
,
i
=
1
,
.
.
.
N
{\displaystyle x_{i}^{0}\in \partial \Omega ,i=1,...N}
і відкритих множин
Γ
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
, які містять
x
i
0
{\displaystyle x_{i}^{0}}
і
∂
Ω
⊂
⋃
i
=
1
N
Γ
i
{\displaystyle \partial \Omega \subset \bigcup _{i=1}^{N}\Gamma _{i}}
та
‖
U
‖
L
p
(
Γ
i
)
p
⩽
C
i
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
p
{\displaystyle \|U\|_{L^{p}(\Gamma _{i})}^{p}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}}
.
Підсумовуючи останні нерівності за
i
=
1
,
.
.
.
N
{\displaystyle i=1,...N}
отримаємо нерівність
‖
U
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
i
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \|U\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
Для довільної функції
U
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle U\in C^{1}(\Omega )}
визначимо оператор
T
U
:=
U
|
∂
Ω
{\displaystyle T_{U}:=U|_{\partial \Omega }}
. Очевидно, що він є лінійним і
‖
T
U
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
(**)
4. Тепер розглянемо довільну функцію
U
∈
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )}
. Існує послідовність
{
U
m
}
m
=
1
∞
⊂
C
∞
(
Ω
¯
)
{\displaystyle \{U_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C^{\infty }({\bar {\Omega }})}
така, що
U
m
⟶
U
{\displaystyle U_{m}\longrightarrow U}
в
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
при
m
⟶
+
∞
{\displaystyle m\longrightarrow +\infty }
Для кожної функції
U
m
{\displaystyle U_{m}}
визначена функція
T
U
m
∈
L
p
(
∂
Ω
)
{\displaystyle T_{U_{m}}\in L^{p}(\partial \Omega )}
і має місце нерівність (**). Тоді
‖
T
U
m
−
T
U
k
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
‖
U
m
−
U
k
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \|T_{U_{m}}-T_{U_{k}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}-U_{k}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
.
Отже,
{
T
U
m
}
m
=
1
∞
{\displaystyle \{T_{U_{m}}\}_{m=1}^{\infty }}
— фундаментальна послідовність у
L
p
(
∂
Ω
)
{\displaystyle L^{p}(\partial \Omega )}
. Границею цієї послідовності позначимо через
T
U
{\displaystyle T_{U}}
, тобто
T
U
:=
lim
m
↦
∞
T
U
m
{\displaystyle T_{U}:=\lim _{m\mapsto \infty }T_{U_{m}}}
. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності
‖
T
U
m
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
‖
U
m
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \|T_{U_{m}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
при
m
⟶
∞
{\displaystyle m\longrightarrow \infty }
, отримаємо
‖
T
U
‖
L
p
(
∂
Ω
)
⩽
C
‖
U
‖
W
1
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle \|T_{U}\|_{{L^{p}}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Мельник Т.А , Креневич А.П. Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.