Очікувана величина вимірювання (квантова механіка)

Очі́кувана величина́ вимірювання — очікуване ймовірнісне значення результату експерименту з вимірювання в квантовій механіці. Можна розглядати як середнє значення всіх можливих результатів вимірювання, зважене за їх імовірністю, і, як таке, воно не є «найбільш» імовірним значенням вимірювання; дійсно, очікуване значення може мати нульову ймовірність виникнення (наприклад, вимірювання, які можуть давати тільки цілі значення, можуть мати нецілочисельне середнє значення). Є фундаментальним поняттям у всіх галузях квантової фізики.

Популярне визначення

Розглянемо оператор ${\displaystyle A}$. Тоді очікувана величина дорівнює: ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ в позначеннях Дірака, де ${\displaystyle |\psi \rangle }$ нормалізований^[en] вектор стану.

Математичний апарат

У квантовій теорії початкові умови експерименту з вимірювання описуються спостережуваною ${\displaystyle A}$, що підлягає вимірюванню, та станом ${\displaystyle \sigma }$ системи. Очікувану величину ${\displaystyle A}$ в стані ${\displaystyle \sigma }$ позначають як ${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$. Математично, ${\displaystyle A}$ є самоспряженим оператором^[en] у гільбертовому просторі.

У найчастіше використовуваному випадку квантової механіки, ${\displaystyle \sigma }$ є чистим станом, що описується нормалізованим вектором^[a] ${\displaystyle \psi }$ у гільбертовому просторі. Очікувану величину вимірювання ${\displaystyle A}$ в стані ${\displaystyle \psi }$ визначено як:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .}$

(1)

Якщо розглядається динаміка, то приймається, що вектор ${\displaystyle \psi }$, або оператор ${\displaystyle A}$ залежить від часу, залежно від цього, використовується картина Шредінгера або картина Гейзенберга. Однак еволюція очікуваного значення залежить від цього вибору. Якщо ${\displaystyle A}$ має повний набір власних векторів ${\displaystyle \phi _{j}}$, із власними значеннями ${\displaystyle a_{j}}$, то (1) можна виразии як^[1]

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.}$

(2)

Цей вираз схожий на середнє арифметичне та ілюструє фізичний зміст математичного формалізму: власні значення ${\displaystyle a_{j}}$ є можливими результатами експерименту з вимірювання,^[b] та відповідний їм коефіцієнт ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$ — це ймовірність того, що цей результат буде отримано; його часто називають ймовірністю переходу. Особливо простий випадок виникає, коли ${\displaystyle A}$ є проєкцією і, отже, має лише власні значення 0 і 1. Це фізично відповідає типу експерименту «так-ні». У цьому випадку очікуване значення — це ймовірність того, що експеримент приведе до «1», і його можна обчислити як

${\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.}$

(3)

У квантовій теорії оператор також може мати недискретний спектр, такий як оператор координати ${\displaystyle X}$ у квантовій механіці. Цей оператор має повністю неперервний спектр^[en], зі власними значеннями та власними векторами, що залежать від неперервного параметра ${\displaystyle x}$. Зокрема, оператор ${\displaystyle X}$ діє на просторовий вектор ${\displaystyle |x\rangle }$ як ${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$^[2].

У цьому випадку вектор ${\displaystyle \psi }$ можна записати як комплекснозначну функцію ${\displaystyle \psi (x)}$ на спектрі ${\displaystyle X}$ (зазвичай реальна лінія). Формально це досягається проєктуванням вектора стану ${\displaystyle |\psi \rangle }$ на власні значення оператора, як у дискретному випадку ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$. Трапляється, що власні вектори позиційного оператора утворюють повний базис для векторного простору станів і, отже, підпорядковуються рівнянню замикання:$${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$Викладене вище можна використати для отримання загального інтегрального виразу для очікуваного значення (4) шляхом вставлення ідентифікаторів у векторний вираз очікуваного значення, а потім розширення на основі позиції:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle =\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$$Де умова ортонормованості^[en] базисних векторів координат ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ зменшує подвійний інтеграл до одного інтеграла. В останньому рядку використовується модуль комплексної функції для заміни ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ на ${\displaystyle |\psi |^{2}}$, що є звичайною заміною в квантово-механічних інтегралах.

Потім можна вказати очікуване значення, де ${\displaystyle x}$ необмежене, у вигляді формули:

${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.}$

(4)

Аналогічна формула справедлива для оператора імпульсу ${\displaystyle P}$ у системах, де він має неперервний спектр.

Усі наведені вище формули дійсні лише чистих станів ${\displaystyle \sigma }$. Важливими в термодинаміці та квантовій оптиці також є «змішані стани»; вони описуються додатним оператором класу сліду^[en]

${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$,

«статистичний оператор» або «матриця густини». Потім очікуване значення можна отримати як

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}\rho _{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\rho _{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.}$

(5)

Загальне формулювання

У загальному випадку квантові стани ${\displaystyle \sigma }$ описують додатними нормалізованими лінійними функціоналами на множині спостережуваних, які математично часто приймають за C*-алгебру. Очікуване значення ${\displaystyle A}$ дається як

${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).}$

(6)

Якщо алгебра спостережуваних діє незвідно в гільбертовому просторі, і якщо ${\displaystyle \sigma }$ є «нормальним функціоналом», тобто неперервним у надслабкій топології^[en], то її можна записати як$${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Trace} (\rho \;\cdot )}$$з додатним оператором класу сліду^[en] ${\displaystyle \rho }$ сліду 1. Це дає формулу (5) вище. У разі чистого стану ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ — це проєкція на одиничний вектор ${\displaystyle \psi }$. Тоді ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$ дає формулу (1) вище.

Припускається, що ${\displaystyle A}$ — самоспряжений оператор. У загальному випадку його спектр не буде ні повністю дискретним, ні повністю неперервним. Тим не менш, можна написати ${\displaystyle A}$ в спектральному розкладі,$${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$за допомогою вимірюваної проєктором величини ${\displaystyle P}$. Для очікуваного значення ${\displaystyle A}$ в чистому стані ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$, це означає$${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$який можна розглядати як узагальнення наведених вище формул (2) та (4).

У нерелятивістських теоріях скінченного числа частинок (нерелятивістська квантова механіка) аналізовані стани, як правило, є нормальними. Однак у інших галузях квантової теорії використовують також ненормальні стани: вони з'являються, наприклад, у вигляді стнів KMS^[en] у квантовій статистичній механіці нескінченно протяжних середовищ,^[3] і як заряджені стани в квантовій теорії поля^[4].

У таких випадках очікуване значення визначають лише загальною формулою (6).

Приклад у конфігураційному просторі

Як приклад розглянемо квантово-механічну частинку в одному просторовому вимірі у поданні конфігураційного простору. Тут гільбертовим простором ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ є простір квадратично інтегрованих функцій на дійсній прямій. Вектори ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ представлені функціями ${\displaystyle \psi (x)}$, які називають хвильовими функціями. Скалярний добуток задється ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$. Хвильові функції мають пряму інтерпретацію як розподіл імовірностей:$${\displaystyle p(x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$$дає ймовірність перебування частинки в нескінченно малому інтервалі довжини ${\displaystyle dx}$ у якійсь точці ${\displaystyle x}$. Як спостережуване розглянемо оператор координати ${\displaystyle Q}$, що діє на хвильові функції ${\displaystyle \psi }$ як$${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$Очікуване значення чи середнє значення вимірювань ${\displaystyle Q}$, виконаних на дуже великій кількості «ідентичних» незалежних систем, буде подано як$${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,dx.}$$Очікуване значення існує тільки в тому випадку, якщо інтеграл збігається, що не стосується всіх векторів ${\displaystyle \psi }$. Це пов'язано з тим, що оператор координати необмежений^[en], і ${\displaystyle \psi }$ пот рібно вибрати з його області визначення.

У загальному випадку очікування будь-якого спостережуваного можна розрахувати замінивши ${\displaystyle Q}$ відповідним оператором. Наприклад, для обчислення середнього імпульсу використовують оператор імпульсу «в конфігураційному просторі», ${\textstyle P=-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$. Очевидно, його очікуване значення дорівнює$${\displaystyle \langle P\rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$$Загалом, не всі оператори описують вимірні́ фізичні величини. Оператор, що має чисто дійсне очікуване значення, називають спостережуваним і його значення можна безпосередньо виміряти в експерименті.

Див. також

• Відношення Релея
• Принцип невизначеності
• Теорема віріалу

Коментарі

1. У цій статті завжди приймається ${\displaystyle \psi }$ за норму 1. Для ненормалізованих векторів, ${\displaystyle \psi }$ у всіх формулах слід замінити на ${\displaystyle \psi /\|\psi \|}$.
2. Тут припускається, що власні значення невироджені.

Примітки

1. Probability, Expectation Value and Uncertainty (PDF). Архів (PDF) оригіналу за 5 листопада 2021. Процитовано 5 листопада 2021.
2. Cohen-Tannoudji, Claude, 1933- (June 2020). Quantum mechanics. Volume 2. Diu, Bernard,, Laloe, Franck, 1940-, Hemley, Susan Reid,, Ostrowsky, Nicole, 1943-, Ostrowsky, D. B. Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161.
3. Bratteli, Ola; Robinson, Derek W (1987). Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1. Springer. ISBN 978-3-540-17093-8.
4. Haag, Rudolf (1996). Local Quantum Physics. Springer. с. Chapter IV. ISBN 3-540-61451-6.

Література

• Isham, Chris J (1995). Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.