П'ята проблема Гільберта

П'ята проблема Гільберта — одна з проблем, поставлених Давидом Гільбертом у його доповіді^[1][2] на II Міжнародному конгресі математиків у Парижі в 1900 році. П'ята проблема Гільберта належить до теорії топологічних груп перетворень та груп Лі. Для важливих окремих випадків рішення отримано в 1933 і 1934 роках, остаточно вирішено в 1952 році.

Формулювання проблеми

Топологічна група перетворень складається з топологічної групи ${\displaystyle G}$, топологічного простору ${\displaystyle X}$ та безперервної дії групи ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$, яке є безперервним відображенням

${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X,\ (g,x)\to gx,}$

які мають такі дві властивості:

1. ${\displaystyle ex=x}$ для всіх ${\displaystyle x\in X}$, де ${\displaystyle e}$ — одиничний елемент з ${\displaystyle G}$ ,
2. ${\displaystyle g(g'x)=(gg')x}$ для всіх ${\displaystyle g,g'\in G}$ і для всіх ${\displaystyle x\in X}$ .

Топологічна група ${\displaystyle G}$ є групою Лі, якщо ${\displaystyle G}$ — дійсно-аналітичне різноманіття, а множення ${\displaystyle \mu \colon G\times G\to G,\ (g,g')\to gg'}$ - Фактично-аналітичне відображення. Тоді за теоремою про неявну функцію відображення ${\displaystyle \iota \colon G\to G,\ g\to g^{-1}}$ є дійсно-аналітичним. Якщо ${\displaystyle G}$ - група Лі, ${\displaystyle X}$ — дійсно-аналітичне різноманіття, а дія ${\displaystyle \varphi }$ групи ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle X}$ — дійсно-аналітичне, маємо групу дійсно-аналітичних перетворень.

Нехай ${\displaystyle G}$ — локально евклідова топологічна група. Тоді виникає питання про те, чи можна завжди забезпечити ${\displaystyle G}$ дійсно-аналітичною структурою такою, що множення

${\displaystyle \mu \colon G\times G\to G}$

буде дійсно-аналітичним? Це питання, на яке згодом було дано позитивну відповідь, і вважається сьогодні п'ятою проблемою Гільберта.^[3]

Рішення проблеми

Для компактних груп п'ята проблема була вирішена фон Нейманом^[4] у 1933 році. Для локально компактних комутативних груп та деяких інших окремих випадків проблему вирішив Понтрягін^[3][5][6] в 1934 році. Ці докази були отримані за допомогою результату угорського математика Альфреда Хаара^[7], який побудував на локально компактній топологічній групі інваріантну міру^[8].

Центральним пунктом загального доказу виявилося питання про існування «малих» підгруп у скільки завгодно малої околиці одиниці (крім самої одиниці). Групи таких підгруп не мають. Значний внесок у рішення зробив Глісон^[9], який доказав, що кожна кінцевомірна локально компактна топологічна група ${\displaystyle G}$, яка не має малих підгруп, є групою Лі.

Остаточне рішення отримане в 1952 році Монтгомері і Лео Ципін, які довели, що у локально зв'язної кінцевомірної локально компактної топологічної групи немає малих підгруп^[10]. Оскільки будь-яка локально евклідова топологічна група є локально зв'язною, локально компактною і кінцевою, то з цих двох результатів випливає наступне твердження.

Теорема. Кожна локально евклідова група є групою Лі.

Як згодом показав Глушков, ця теорема допускає узагальнення^[11].

Цей результат часто розглядають як вирішення п'ятої проблеми Гільберта, але поставлене Гільбертом питання мало більш широкий характер і стосувалося груп перетворень. ${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X}$ для випадку, коли різноманіття ${\displaystyle X}$ не збігається з ${\displaystyle G}$^[3][12].

Відповідь на загальне питання Гільберта у разі топологічних безперервних дій виявилася негативною навіть для тривіальної групи ${\displaystyle G=\{e\}}$ . Існують топологічні різноманіття, що не мають жодної гладкої структури, а отже, не мають і дійсно-аналітичної структури^[13].

Примітки

1. David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нім.). Архів оригіналу за 8 квітня 2012. Процитовано 27 серпня 2009. {{cite web}}: Проігноровано невідомий параметр |description= (довідка)
2. Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Александров, 1969
3. Пятая проблема Гильберта: Обзор.
4. Neumann J. von Die Einfuhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen// Ann. Math. — 1933. — 34. — C. 170—190
5. Проблемы Гильберта и советская математика (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 26 жовтня 2014. Процитовано 26 жовтня 2014.
6. Pontryagin L. S. Topological groups. — Princeton: Univ. Press, 1939
7. Der Maasbegriff in der Theorie der Kontinuerlichen Gruppen (Mértékfogalom a folytonos csoportok elméletében), 1933.
8. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. — М. : Прима В, 1998. — 340 с. Архівовано з джерела 16 березня 2003
9. Gleason A. M. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 193—212.
10. Montgomery D., Zippin L. Small subgroups of finite-dimensional groups // Ann. Math. — 1952. — 56. — С. 213—241.
11. В. М. Глушков. Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта(рос.), УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 3—41.
12. Montgomery D. Topological transformation groups // Proc. Int. Congr. Math. — 1954. — Vol. III. — Groningen-Amsterdam. — 1956. — С. 185—188 (РЖМат, 1958, 8602).
13. Kervaire M. A. A manifold which does not admit any differentiable structure // Comment. Math. Helv. — 1960. — 34. — С. 257—270.

Література

• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — Москва : Наука, 1969. — 240 с. — 10700 прим. Архівовано з джерела 17 жовтня 2011