П'ятий степінь

У арифметиці та алгебрі, п'ятий степінь числа n є результатом множення п'яти екземплярів n разом:

n⁵ = n × n × n × n × n.

П'яті степені також утворюються шляхом множення числа на його четвертий степінь або квадрат числа на його куб.

Послідовність п'ятих степенів цілих така:

0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, … послідовність A000584 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Властивості

Для будь-якого цілого числа n остання десяткова цифра n⁵ є такою ж, як і остання (десяткова) цифра n.

Відповідно до теореми Абеля–Руффіні, не існує загальної алгебраїчної формули (формули, вираженої через радикали) для розв'язання поліноміального рівняння, що містить п'ятий степінь невідомого як найвищій степінь. Це найнижчий степінь, для якого це вірно. Див. рівняння п'ятого степеня, рівняння шостого степеня та рівняння сьомого степеня^[en].

Поряд із четвертим степенем, п'ятий степінь є одним із двох степенів k, які можна виразити як суму k − 1 інших k-их степенів, надаючи контрприклади до гіпотези Ейлера про суму степенів. Зокрема,

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)^[1]

Див. також

• Сьомий степінь
• Шостий степінь
• Четвертий степінь
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)
• Досконалий степінь

Примітки

1. Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.

Джерела

• Råde, Lennart; Westergren, Bertil (2000). Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler (German) (вид. 3). Springer-Verlag. с. 44. ISBN 3-540-67505-1.
• Vega, Georg (1783). Logarithmische, trigonometrische, und andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln (German) . Vienna: Gedruckt bey Johann Thomas Edlen von Trattnern, kaiferl. königl. Hofbuchdruckern und Buchhändlern. с. 358. 1 32 243 1024.
• Jahn, Gustav Adolph (1839). Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln aller Zahlen von 1 bis 25500, der Quadratzahlen aller Zahlen von 1 bis 27000 und der Kubikzahlen aller Zahlen von 1 bis 24000 (German) . Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth. с. 241.
• Deza, Elena; Deza, Michel (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. с. 173. ISBN 978-981-4355-48-3.
• Rosen, Kenneth H.; Michaels, John G. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, Florida: CRC Press. с. 159. ISBN 0-8493-0149-1.
• Prändel, Johann Georg (1815). Arithmetik in weiterer Bedeutung, oder Zahlen- und Buchstabenrechnung in einem Lehrkurse - mit Tabellen über verschiedene Münzsorten, Gewichte und Ellenmaaße und einer kleinen Erdglobuslehre (German) . Munich. с. 264.