Параметричний резонанс

Дівчинка розгойдується завдяки параметричному резонансу. Підгинаючи і випрямляючи ноги, вона періодично змінює свій момент інерції

Параметричний резонанс — резонансне збільшення амплітуди коливань гармонічного осцилятора при зміні його параметрів із певною частотою.

Усім знайомий приклад параметричного резонансу — гойдалка.

Теорія

Рівняння руху гармонічного осцилятора, параметр якого (частота) змінюється з часом за синусоїдальним законом, описується рівнянням

${\displaystyle {\ddot {u}}+\omega _{0}^{2}(1+h\cos \omega t)u=0}$,

де u — змінна, ${\displaystyle \omega _{0}}$ — власна частота гармонічного осцилятора при відсутності параметричної дії, ${\displaystyle \omega }$ — частота параметричної дії, h описує амплітуду параметричної дії. В математиці це рівняння називається рівнянням Матьє.

Резонанс, тобто різке зростання амплітуди коливань, спостерігається тоді, коли

${\displaystyle \omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}}}$,

де n — будь-яке ціле число. Головний резонанс відбувається на подвоєній частоті власних коливань гармонічного осцилятора. Ширина резонансу приблизно дорівнює ${\displaystyle h\omega _{0}}$.

Відмінність параметричного резонансу від звичайного в тому, що при параметричному резонансі пряма зовнішня сила відсутня. Збільшення розмаху коливань відбувається за рахунок процесів у самій системі, енергія в систему поступає завдяки силі, яка змінює параметр.

Тертя

При врахуванні тертя параметричний резонанс описується рівнянням

${\displaystyle {\ddot {u}}+3\gamma {\dot {u}}+\omega _{0}^{2}(1+h\cos \omega t)u=0}$,

де ${\displaystyle \gamma }$ — коефіцієнт, відповідальний за тертя.

Резонанс в такому випадку може збуджуватися не при будь-якому значені h, а лише, коли виконується умова

${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$

Область частот, в якій можливий резонанс, теж звужується.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.

Посилання

• Параметричні коливання // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 145-146. — ISBN 978-966-7407-83-4.