Просте число Волла — Суня — Суня

В теорії чисел просте число Волла — Суня — Суня (англ. Wall-Sun-Sun) або просте число Фібоначчі — Віферіха (Fibonacci-Wieferich) — одне з ймовірно існуючих простих чисел певного виду, пов'язаних з числами Фібоначчі.

Визначення

Нехай ${\displaystyle p}$ просте число. Послідовність чисел Фібоначчі за модулем ${\displaystyle p}$ утворює періодичну послідовність. Мінімальна довжина періоду цієї послідовності називається періодом Пізано і позначається як ${\displaystyle \pi (p)}$. Оскільки ${\displaystyle F_{0}=0}$, звідси випливає, що ${\displaystyle p}$ ділить ${\displaystyle F_{\pi (p)}}$. Просте ${\displaystyle p}$, таке що ${\displaystyle p^{2}}$ ділить ${\displaystyle F_{\pi (p)}}$ називається простим Волла — Суня — Суня.

Еквівалентні визначення

Просте число ${\displaystyle p\neq 2,5}$ називається простим Волла — Суня — Суня, якщо ${\displaystyle p^{2}}$ ділить число Фібоначчі ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, де символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ визначається як:

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Просте число ${\displaystyle p}$ називається простим Волла — Суня — Суня, якщо ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$, де ${\displaystyle L_{p}}$ — ${\displaystyle p}$-е число Люка.

Існування

Вивчаючи період Пізано, Дональд Волл встановив, що не існує простих чисел Волла — Суня — Суня, менших за 10000.

Існує гіпотеза, що простих чисел Волла — Суня — Суня нескінченно багато, однак станом на серпень 2022 року жодного такого простого числа знайдено не було.

В 2007 році Річард Макінтош (Richard J. McIntosh) та Ерік Ретґер (Eric L. Roettger) показали, що якщо вони існують, то мають бути більші за 2⋅10¹⁴.^[1] В 2010 році Франсуа Доре (François G. Dorais) та Домінік Клайв (Dominic Klyve) посунули межу до 9,7⋅10¹⁴.^[2] У грудні 2011 року було розпочато пошук простих Волла — Суня — Суня в проєкті PrimeGrid, однак він був зупинений в травні 2017 року.^[3] В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком простих Віферіха та Волла — Суня — Суня. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅10¹⁸ та продовжує пошук майже простих чисел Волла — Суня — Суня.

Майже прості Волла — Суня — Суня

Просте число ${\displaystyle p}$, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень ${\displaystyle \mid A\mid }$, називається майже простим Волла — Суня — Суня. PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| ≤ 1000. Відомо декілька випадків, коли A = ±1 (послідовність A347565 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Історія

Прості числа Волла — Суня — Суня названі на честь Дональда Волла (Donald Dines Wall)^[4] і братів близнюків Чжи Хон Суня (Zhi Hong Sun) та Чжи Вей Суня (Zhi Wei Sun), які в 1992 році показали, якщо перша умова великої теореми Ферма не виконується для певного простого ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle p}$ має бути простим числом Фібоначчі — Віферіха. Таким чином, до того, як велика теорема Ферма була доведена Ендрю Вайлсом, пошук простих Фібоначчі — Віферіха мав на меті знайти потенційний контрприклад.

Див. також

• Числа Фібоначчі
• Послідовність Люка
• Період Пізано
• Просте число Віферіха

Примітки

1. McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007). A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2087—2094. Bibcode:2007MaCom..76.2087M. doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2.
2. Dorais, F. G.; Klyve, D. W. (2010). Near Wieferich primes up to 6.7 × 10¹⁵ (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 6 серпня 2011. Процитовано 25 серпня 2022.
3. [1] at PrimeGrid
4. Wall, D. D. (1960), Fibonacci Series Modulo m, American Mathematical Monthly, 67 (6): 525—532, doi:10.2307/2309169, JSTOR 2309169