Просте число Волстенголма

У теорії чисел простим числом Волстенголма називають будь-яке просте число, що задовольняє посиленому порівнянню з теореми Волстенголма. При цьому початковому порівнянню з теореми Волстенголма задовольняють усі прості числа, крім 2 та 3. Прості числа Волстенголма названо на честь математика Джозефа Волстенголма^[en], який першим довів теорему в XIX столітті.

Інтерес до цих чисел виник через їхній зв'язок із великою теоремою Ферма.

Відомо лише два простих числа Волстенголма — 16843 і 2124679 (послідовність A088164 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Інших простих чисел Волстенголма, менших від 10⁹, немає^[1] .

Визначення

Нерозв'язана проблема математики: Чи існують прості числа Волстенголма, крім 16843 та 2124679? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Просте число Волстенголма можна визначити кількома еквівалентними способами.

Через біноміальні коефіцієнти

Просте число Волстенголма — це просте число, що задовольняє порівняння

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},}$

де вираз у лівій частині означає біноміальний коефіцієнт^[2]. Порівняйте з теоремою Волстенголма, яка стверджує, що для будь-якого простого ${\displaystyle p>3}$ виконується таке порівняння:

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

Через числа Бернуллі

Просте число Волстенголма це просте число p, що ділить (без остачі) чисельник числа Бернуллі ${\displaystyle B_{p-3}}$^[3][4][5]. Таким чином, прості числа Волстенголма є підмножиною іррегулярних простих чисел .

Через іррегулярні пари

Просте число Волстенголма ${\displaystyle p}$ — це просте число, таке, що ${\displaystyle (p,p-3)}$ є іррегулярною парою^[6][7].

Через гармонічні числа

Просте число Волстенголма ${\displaystyle p}$ — це просте число, таке, що^[8]

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$

тобто, чисельник гармонічного числа ${\displaystyle H_{p-1}}$ ділиться на ${\displaystyle p^{3}}$.

Пошук та поточний стан

Пошук простих чисел Волстенголма розпочався в 1960-х роках і триває досі. Останній результат опубліковано 2007 року. Перше просте число Волстенголма 16843 знайдено 1964 року, хоча результат і не було опубліковано в явному вигляді^[9]. Знахідку 1964 року потім незалежно підтверджено в 1970-х роках. Це число залишалося єдиним відомим прикладом таких чисел майже 20 років, поки 1993 року не було оголошено про виявлення другого простого числа Волстенголма 2124679^[10]. На той час аж до 1,2 × 10⁷ не було знайдено жодного числа Волстенголма, крім згаданих двох^[11]. 1995 року Макінтош (McIntosh) підняв межу до 2 × 10^8[4], а Тревісан (Trevisan) та Вебер (Weber) змогли досягти 2,5 × 10^8[12]. Останній результат зафіксовано 2007 року — до 1 × 10⁹ так і не знайдено простих чисел Волстенголма^[13].

Очікувана кількість

Існує гіпотеза, що простих чисел Волстенголма нескінченно багато. Припускають також, що кількість простих чисел Волстенголма, які не перевищують ${\displaystyle x}$, має бути порядку ${\displaystyle \ln \ln x}$, де ${\displaystyle \ln }$ позначає натуральний логарифм. Для будь-якого простого числа ${\displaystyle p\geq 5}$ часткою Волстенголма називають

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.}$

Ясно, що ${\displaystyle p}$ є простим числом Волстенголма тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle W_{p}\equiv 0{\pmod {p}}}$. З емпіричних спостережень можна припустити, що остача ${\displaystyle W_{p}}$ за модулем ${\displaystyle p}$ рівномірно розподілена на множині ${\displaystyle {0,1,\dots ,p-1}}$. З цих причин ймовірність отримання певної остачі (наприклад, 0) має бути близько ${\displaystyle 1/p}$^[4].

Див. також

• Просте число Вілсона
• Просте число Волла — Суня — Суня
• Просте число Віферіха

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Просте число Волстенголма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Cook, J. D. Binomial coefficients. Архів оригіналу за 29 січня 2013. Процитовано 21 грудня 2010.
3. Clarke та Jones, 2004
4. McIntosh, 1995, с. 387.
5. Zhao, 2008
6. Johnson, 1975, с. 114.
7. Buhler та ін., (1993).
8. Zhao, 2007, с. 18.
9. Селфрідж (Selfridge) і Поллак (Pollack) опублікували перше просте число Волстенголма в Selfridge та Pollack, 1964 (див. McIntosh та Roettger, 2007).
10. Ribenboim, 2004, с. 23.
11. Zhao, 2007, с. 25.
12. Trevisan та Weber, (2001).
13. McIntosh та Roettger, (2007).

Література

• Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000, Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
• Johnson, W. (1975), Irregular Primes and Cyclotomic Invariants (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113—120 [Архівовано 2010-12-20 у WebCite]
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151—153 [Архівовано 2010-11-12 у WebCite]
• McIntosh, R. J. (1995), On the converse of Wolstenholme's Theorem (PDF), Acta Arithmetica, 71: 381—389 арх.
• Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275—286 [Архівовано 2010-12-10 у WebCite]
• Ribenboim, P. (2004), Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime, The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 арх.
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), A Congruence for Factorials (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553—558, doi:10.1112/S0024609304003194 [Архівовано 2011-01-02 у WebCite]
• McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes (PDF), Mathematics of Computation, 76: 2087—2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 арх.
• Zhao, J. (2007), Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18—26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 [Архівовано 2010-11-12 у WebCite]
• Zhao, J. (2008), Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73—106 арх.
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II, Communications in Number Theory and Physics, 3, arXiv:0907.2578
• Babbage, C. (1819), Demonstration of a theorem relating to prime numbers, The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46—49
• Wolstenholme, J. (1862), On Certain Properties of Prime Numbers, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35—39

Посилання

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — із довідника простих чисел
• McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 — електронний лист до Пола Ціммермана (Paul Zimmermann)
• Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, і Binomial Coefficients
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — цікаве спостереження, пов'язане з простими числами Волстенголма.